1 Pola2 Aritmetika3 Geometri4 Tak Hingga5 AplikasiEvaluasi

Barisan dan Deret

Modul Matematika Umum Kelas XI · KD 3.6

Suatu koloni bakteri membelah menjadi dua setiap lima menit. Mula-mula ada 90 bakteri. Berapa jumlah bakteri setelah setengah jam? Geser waktunya dan lihat sendiri!

Waktu: 30 menit

Masalah ini dijawab dengan konsep barisan dan deret. Ikuti lima kegiatan belajar di bawah ini.

Peta konsep

Barisan bilangan	Unsur	Deret (jumlah n suku pertama)
Aritmetika	suku awal a, beda b, suku ke-n	Deret aritmetika
Geometri	suku awal a, rasio r, suku ke-n	Deret geometri

Kegiatan 1: Pola Bilangan, Barisan dan Deret

Tujuan belajar

• Memahami pola bilangan, barisan dan deret
• Menentukan pola dan suku ke-n suatu barisan
• Menentukan n suku pertama barisan dan deret jika rumus suku ke-n diketahui

Pengertian barisan bilangan

Barisan bilangan adalah urutan bilangan dengan aturan tertentu. Tiap bilangan disebut suku (U): suku pertama U₁ atau a, suku kedua U₂, dan seterusnya sampai U_n dengan n bilangan asli.

Mana yang barisan? a) 1, 2, 3, 4, 5, … b) 2, 4, 6, 8, … c) 14, 11, 8, 5, … d) 2, −2, 2, −2, … e) 1, ½, ¼, 1/8, … f) 8, 4, 3, 1, −2, −5, … g) 1, 5, 3, 7, 9, …

Lihat jawaban

a sampai e punya aturan, jadi barisan. f dan g tidak punya aturan.

Pola bilangan suku ke-n

Contoh 1. Barisan 1, 3, 5, 7, … → U_n = 2n − 1. Barisan 1, 4, 9, 16, … → U_n = n².
Contoh 2. Tiga suku pertama jika U_n = 3n² − 2.

Lihat pembahasan

U₁ = 3−2 = 1; U₂ = 12−2 = 10; U₃ = 27−2 = 25. Jadi 1, 10, 25.

Contoh 3. Rumus suku ke-n dari a) 4, 6, 8, 10, … b) 1, 9, 25, 49, …

Lihat pembahasan

a) Tiap suku bertambah 2: U_n = 2n + 2. b) Barisan kuadrat bilangan ganjil: U_n = (2n − 1)².

Contoh 4. U_n = (½)ⁿ. Tulis empat suku pertama, lalu U₅ dan U₇.

Lihat pembahasan

½, ¼, 1/8, 1/16. U₅ = 1/32 dan U₇ = 1/128.

Contoh 5. Hitung n jika a) U_n = 3ⁿ + 3 = 30 b) U_n = n² + 1 = 17

Lihat pembahasan

a) 3ⁿ = 27 = 3³, jadi n = 3. b) n² = 16, n = ±4. Karena n bilangan asli, n = 4.

Pengertian deret

Deret adalah jumlah seluruh suku dalam barisan, dilambangkan S_n. Contoh: 1+2+3+4+5+…, 1+3+5+7+…, 2+4+6+8+…

Contoh. Deret 1+3+5+7+… Tentukan jumlah 2 suku dan 5 suku pertama.

Lihat pembahasan

S₂ = 1+3 = 4. S₅ = 1+3+5+7+9 = 25.

Ayo berlatih

1. Jika U_n = 5 − 2n², selisih suku ketiga dan kelima adalah …

2. Barisan 1, 4, 7, 10, … memenuhi U_n = an + b. Suku ke-10 adalah …

Penilaian diriSaya dapat menentukan pola dan suku ke-n suatu barisan.Saya dapat menentukan n suku pertama barisan dan deret jika rumusnya diketahui.

Kegiatan 2: Barisan dan Deret Aritmetika

Tujuan belajar

• Memahami barisan dan deret aritmetika
• Menentukan suku ke-n
• Menentukan jumlah n suku pertama

Barisan aritmetika

Selisih dua suku berurutan selalu sama. Selisih itu disebut beda (b). Contoh: 3, 8, 13, 18 (b = 5); 10, 7, 4, 1 (b = −3); 25, 15, 5, −5 (b = −10).

b = U_n − U_n−1
U_n = a + (n − 1)ba = suku pertama, b = beda, U_n = suku ke-n

Contoh 1. Barisan 2, 6, 10, … Tentukan suku ke-14.

Lihat pembahasan

a = 2, b = 4. U₁₄ = 2 + 13·4 = 54.

Contoh 2. U₂ = 7 dan U₆ = 19. Tentukan beda, suku pertama dan U₄₁.

Lihat pembahasan

Eliminasi: (a+5b) − (a+b) = 19 − 7, jadi 4b = 12, b = 3. Lalu a + 3 = 7, a = 4. U₄₁ = 4 + 40·3 = 124.

Contoh 3. Barisan 4, 7, 10, … Tentukan beda, U₁₀ dan rumus suku ke-n.

Lihat pembahasan

b = 3. U₁₀ = 4 + 9·3 = 31. U_n = 4 + (n−1)3 = 3n + 1.

Contoh 4. U₈ = 24 dan U₁₀ = 30. Tentukan beda, suku pertama, U₁₂ dan enam suku pertama.

Lihat pembahasan

2b = 6, b = 3; a + 21 = 24, a = 3. U₁₂ = 3 + 11·3 = 36. Enam suku pertama: 3, 6, 9, 12, 15, 18.

Contoh 5 (cerita). Tahun pertama sebuah butik memproduksi 400 stel jas, bertambah 25 stel tiap tahun. Berapa produksi tahun ke-5?

Lihat pembahasan

a = 400, b = 25. U₅ = 400 + 4·25 = 500 stel jas.

Deret aritmetika

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika: S_n = U₁ + U₂ + … + U_n. Menjumlahkan deret itu sendiri dengan urutan dibalik menghasilkan n pasangan yang masing-masing berjumlah (a + U_n), sehingga 2S_n = n(a + U_n).

S_n = 12 n (a + U_n)
S_n = 12 n (2a + (n − 1)b)
U_n = S_n − S_n−1

Contoh 1. Jumlah 20 suku pertama deret 3 + 7 + 11 + …

Lihat pembahasan

a = 3, b = 4. S₂₀ = 10(6 + 19·4) = 10·82 = 820.

Contoh 2. U₄ = −12 dan U₁₂ = −28. Jumlah 15 suku pertama?

Lihat pembahasan

8b = −16, b = −2; a + 3(−2) = −12, a = −6. S₁₅ = ½·15·(−12 + 14(−2)) = ½·15·(−40) = −300.

Contoh 3. S₁₂ = 150 dan S₁₁ = 100. Tentukan U₁₂.

Lihat pembahasan

U₁₂ = S₁₂ − S₁₁ = 150 − 100 = 50.

Contoh 4. U_n = 6n − 2. Tentukan S_n.

Lihat pembahasan

a = 4, b = 6. S_n = ½n(8 + 6n − 6) = 3n² + n.

Contoh 5. Jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200.

Lihat pembahasan

Deret 11 + 13 + … + 199: a = 11, b = 2, U_n = 199 sehingga n = 95. S₉₅ = ½·95·(11 + 199) = 9975.

Ayo berlatih

1. Hasil dari 5 + 7 + 9 + 11 + … + 41 adalah …

2. Suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 20 dan jumlah 5 suku pertamanya 80. Jumlah sebelas suku pertamanya adalah …

Penilaian diriSaya dapat menentukan suku ke-n barisan aritmetika.Saya dapat menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika.

Kegiatan 3: Barisan dan Deret Geometri

Tujuan belajar

• Memahami barisan dan deret geometri
• Menentukan suku ke-n
• Menentukan jumlah n suku pertama

Barisan geometri

Hasil bagi dua suku berurutan selalu sama, disebut rasio (r). Contoh: 3, 6, 12 (r = 2); 1000, 100, 10 (r = 1/10); 1, 3, 9 (r = 3); 1, ½, ¼ (r = ½).

r = U₂U₁ = U₃U₂
U_n = a · rⁿ⁻¹

Contoh 1. Barisan 3, 6, 12, … Tentukan suku ke-10.

Lihat pembahasan

a = 3, r = 2. U₁₀ = 3·2⁹ = 1536.

Contoh 2. U₃ = 144 dan U₇ = 9. Tentukan U₆.

Lihat pembahasan

U₇/U₃ = r⁴ = 9/144 = 1/16, jadi r = ½. Dari ar² = 144 diperoleh a = 576. U₆ = 576·(½)⁵ = 576/32 = 18.

Deret geometri

Dari S_n = a + ar + … + arⁿ⁻¹, kurangkan rS_n sehingga S_n(1 − r) = a(1 − rⁿ).

S_n = a(1 − rⁿ)1 − r untuk r < 1
S_n = a(rⁿ − 1)r − 1 untuk r > 1

Contoh 1. Jumlah 10 suku pertama deret 3 + 6 + 12 + …

Lihat pembahasan

S₁₀ = 3(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 3·1023 = 3069.

Contoh 2. Deret 1 + 3 + 9 + 27 + … Tentukan r, U₈ dan S₈.

Lihat pembahasan

r = 3. U₈ = 3⁷ = 2187. S₈ = (3⁸ − 1)/2 = 3280.

Contoh 3. a = 160, r = 3/2, S_n = 2110. Tentukan n.

Lihat pembahasan

2110 = 320((3/2)ⁿ − 1), maka (3/2)ⁿ = 243/32 = (3/2)⁵. Jadi n = 5.

Contoh 4 (cerita). Produksi roti bulan pertama 500, tiap bulan turun 1/5 dari bulan sebelumnya. Tentukan produksi bulan ke-5 dan jumlah 5 bulan pertama.

Lihat pembahasan

Barisan 500, 400, 320, … dengan r = 4/5. U₅ = 500(4/5)⁴ = 204,8 ≈ 205 roti. S₅ = 500(1 − (4/5)⁵)/(1/5) ≈ 1681 roti.

Catatan: tiga angka di modul asli berbeda dengan hitungan di sini: U₆ pada Contoh 2 (576/32 = 18, di modul tertulis 8), S₁₀ = 3 × 1023 = 3069, dan U₈ = 3⁷ = 2187. Angka di sini sudah dihitung ulang.

Ayo berlatih

1. Deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat 48. Jumlah enam suku pertamanya adalah …

2. U₃ = 3 dan U₆ = 81. Suku ke-8 adalah …

Penilaian diriSaya dapat menentukan suku ke-n barisan geometri.Saya dapat menentukan jumlah n suku pertama deret geometri.

Kegiatan 4: Deret Geometri Tak Hingga

Tujuan belajar

• Memahami deret geometri tak hingga
• Memahami penerapannya

Deret geometri dengan banyak suku tak berhingga. Jika |r| > 1 jumlahnya tidak dapat dihitung (divergen). Jika −1 < r < 1 dan r ≠ 0, suku-sukunya makin mendekati nol sehingga jumlahnya ada (konvergen).

S_∞ = a1 − r

Contoh 1. S_∞ dari a) 1 + ½ + ¼ + 1/8 + … b) 1000 + 100 + 10 + 1 + …

Lihat pembahasan

a) a = 1, r = ½: S_∞ = 1/(½) = 2. b) a = 1000, r = 1/10: S_∞ = 1000/(9/10) ≈ 1111,11.

Contoh 2. Deret tak hingga berjumlah 20 dengan suku pertama 10. Hitung jumlah 6 suku pertama.

Lihat pembahasan

20 = 10/(1 − r) sehingga r = ½. S₆ = 10(1 − 1/64)/(½) = 315/16 = 19 11/16.

Penerapan: bola memantul

Lintasan naik dan turun masing-masing membentuk deret tak hingga S_∞.

Bola dilempar ke atas: PL = 2 · a1 − r
Bola dijatuhkan: PL = 2 · a1 − r − a(lintasan naik pertama dihilangkan)

Contoh 1. Bola dilempar ke atas mencapai 6 m, lalu memantul setinggi ½ tinggi sebelumnya. Panjang lintasan sampai berhenti?

Lihat pembahasan

PL = 2·(6/(½)) = 24 m.

Contoh 2. Bola dijatuhkan dari 5 m, memantul 3/5 tinggi sebelumnya. Panjang lintasan?

Lihat pembahasan

PL = 2·5/(2/5) − 5 = 25 − 5 = 20 m.

Ayo berlatih

1. Jumlah tak hingga deret 18 + 6 + 2 + 2/3 + … adalah …

2. Bola dijatuhkan dari 5 m dan memantul 3/4 tinggi semula. Panjang lintasan sampai berhenti adalah … m

Penilaian diriSaya dapat menghitung deret geometri tak hingga dan menerapkannya.

Kegiatan 5: Aplikasi Barisan dan Deret

Tujuan belajar

• Memahami aplikasi barisan dan deret
• Menyelesaikan masalah pertumbuhan, peluruhan, bunga, dan anuitas

	Aritmetika	Geometri
Pertumbuhan (bakteri, penduduk)	Mn = Mo(1 + in) atau Mo + bn	Mn = Mo(1 + i)n atau Mo·rn (r > 1)
Peluruhan (nilai mobil, populasi hewan)	Mn = Mo(1 − in) atau Mo − bn	Mn = Mo(1 − i)n atau Mo·rn (r < 1)
Bunga	Bunga tunggal: Mn = Mo(1 + in)	Bunga majemuk: Mn = Mo(1 + i)n

M_n = nilai setelah n periode, M_o = nilai awal, i = persentase, b = beda, r = rasio.

Gaji. Elsa mulai bekerja 2005 bergaji Rp3.000.000, naik Rp200.000 tiap tahun. Gaji awal 2011?

Lihat pembahasan

n = 6. M_n = 3.000.000 + 200.000·6 = Rp4.200.000.

Bakteri. Jawaban soal pembuka: M_o = 90, r = 2, n = 30 : 5 = 6.

Lihat pembahasan

M₆ = 90·2⁶ = 5760 bakteri.

Nilai mobil. Mobil Rp200.000.000 menyusut 20% per tahun. Harga setelah 5 tahun?

Lihat pembahasan

M₅ = 200.000.000·(0,8)⁵ = Rp65.536.000.

Bunga tunggal. Pak Ahmad meminjam Rp4.000.000 dengan bunga 2% per bulan. Total pengembalian setelah 6 bulan?

Lihat pembahasan

M₆ = 4.000.000(1 + 0,02·6) = Rp4.480.000.

Bunga majemuk. Tabungan Santi Rp2.000.000 menjadi Rp2.662.000 setelah 3 tahun. Berapa persen bunga per tahun?

Lihat pembahasan

1,331 = (1 + i)³ = 1,1³, jadi i = 0,1 = 10%.

Anuitas

Anuitas adalah pembayaran sama besar pada tiap akhir periode untuk melunasi pinjaman. Anuitas = bunga atas hutang + angsuran hutang. Contoh: KPR, kredit motor dan mobil (anuitas pasti). Santunan asuransi kecelakaan adalah anuitas tidak pasti.

Anuitas: A = b · M₀(1 + b)ⁿ(1 + b)ⁿ − 1
Angsuran ke-n: A_n = (1 + b)ⁿ⁻¹(A − bM)
Bunga ke-n: B_n = A − A_n
Sisa hutang: M_n = (1 + b)ⁿ(M − A/b) + A/b

Contoh. Pinjaman Rp20.000.000, anuitas tahunan Rp4.000.000, bunga 5% per tahun. Angsuran, bunga, dan sisa hutang tahun ketiga?

Lihat pembahasan

Angsuran = 1,05²(4.000.000 − 1.000.000) = Rp3.307.500. Bunga = 4.000.000 − 3.307.500 = Rp692.500. Sisa hutang = 1,05³(20.000.000 − 80.000.000) + 80.000.000 = Rp10.542.500.

Ayo berlatih

1. Penduduk 3 juta bertambah 0,1% per bulan secara geometri. Setelah 3 bulan sekitar … orang

2. Bunga tunggal 3% per triwulan. Tabungan Rp8.000.000 menjadi Rp10.400.000 setelah …

Penilaian diriSaya memahami aplikasi untuk pertumbuhan dan peluruhan.Saya memahami aplikasi untuk bunga majemuk dan anuitas.

Evaluasi

Jawab soal berikut, lalu cek nilai tingkat penguasaanmu.

1. Mobil seharga Rp80.000.000, nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya tiap tahun. Nilai jual setelah 3 tahun?

2. Bola jatuh dari 10 m dan memantul ¾ kali tinggi sebelumnya sampai berhenti. Jumlah seluruh lintasan?

Skor kuis kamu: 0 / 0 benar.

Tingkat penguasaan	Kriteria
90% – 100%	baik sekali
80% – 89%	baik
70% – 79%	cukup
< 70%	kurang: ulangi pembelajaran

Rumus: tingkat penguasaan = jumlah skor ÷ jumlah skor total × 100%.

Sumber: Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.6, Direktorat SMA, Ditjen PAUD, DIKDAS dan DIKMEN, 2020.