Komposisi dan Invers Fungsi
Rangkuman materi lengkap: mengenal fungsi, domain–kodomain–range, operasi aljabar dan komposisi fungsi, hingga fungsi invers — lengkap dengan contoh soal dan latihan.
x dipetakan oleh fungsi f ke y = f(x) — gagasan inilah yang mendasari seluruh bab ini.
Fungsi
- Fungsi dan Bukan Fungsi
- Domain, Kodomain, dan Range
Fungsi dan Bukan Fungsi
Fungsi merupakan relasi yang memiliki sifat-sifat khusus. Sifat-sifat fungsi dari himpunan A ke himpunan B sebagai berikut.
- Setiap anggota A mempunyai pasangan anggota B.
- Setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu anggota B.
Coba cermati relasi yang disajikan dalam bentuk diagram panah berikut.
- Relasi (i) merupakan fungsi karena setiap anggota A mempunyai pasangan anggota B dan setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu anggota B.
- Relasi (ii) merupakan fungsi karena setiap anggota A mempunyai pasangan anggota B dan setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu anggota B.
- Relasi (iii) bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak mempunyai pasangan anggota B.
- Relasi (iv) bukan fungsi karena ada anggota A yang mempunyai pasangan lebih dari satu anggota B.
Fungsi dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, atau h. Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan f: A → B dibaca fungsi f memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Fungsi f yang memetakan x anggota himpunan A ke himpunan B dinotasikan sebagai f: x → y atau f: x → f(x) atau f: x → y = f(x).
- f: x → y dibaca f memetakan x ke y.
- f: x → f(x) dibaca f memetakan x ke f(x).
- f: x → y = f(x) dibaca f memetakan x ke y = f(x).
Fungsi f pada diagram panah memetakan x ∈ A ke y ∈ B. Variabel y disebut bayangan/peta/nilai fungsi dari x yang dirumuskan y = f(x), sedangkan x disebut prapeta y.
Sebagai contoh fungsi f: x → 2x – 1 dapat dinyatakan dengan persamaan fungsi f(x) = 2x – 1. Pada fungsi f(x) = 2x – 1 dapat ditentukan nilai fungsi dan prapeta untuk setiap nilai x pada daerah asal {x | 1 ≤ x ≤ 2, x anggota bilangan bulat}.
Domain, Kodomain, dan Range
- Domain atau daerah asal: himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama suatu relasi.
- Kodomain atau daerah kawan: himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur kedua suatu relasi.
- Range atau daerah hasil: himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur kedua yang memiliki pasangan dengan unsur-unsur pertama suatu relasi.
Perhatikan diagram panah suatu fungsi berikut.
Diagram panah tersebut menggambarkan fungsi yang memetakan x anggota A ke y anggota B. Notasi fungsinya dapat dituliskan sebagai berikut.
Dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B.
- Himpunan A merupakan domain atau daerah asal.
- Himpunan B merupakan kodomain atau daerah kawan.
- Himpunan C bagian dari himpunan B merupakan range atau daerah hasil.
Diketahui himpunan A = {x | 0 < x ≤ 10, x bilangan prima} dan B = {x | 0 < x ≤ 15, x bilangan cacah}. Fungsi f: A → B ditentukan oleh rumus f(x) = 2x – 3. Tentukan domain, kodomain, dan range fungsi f.
a. Domain = A = {x | 0 < x ≤ 10, x bilangan prima} = {2, 3, 5, 7}
Jadi, domain fungsi f(x) adalah {2, 3, 5, 7}.
b. Kodomain = B = {x | 0 < x ≤ 15, x bilangan cacah} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Jadi, kodomain fungsi f(x) adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.
c. Rumus fungsi f adalah f(x) = 2x – 3.
Untuk x = 2 diperoleh f(2) = 2(2) – 3 = 1.
Untuk x = 3 diperoleh f(3) = 2(3) – 3 = 3.
Untuk x = 5 diperoleh f(5) = 2(5) – 3 = 7.
Untuk x = 7 diperoleh f(7) = 2(7) – 3 = 11.
Range = R = {1, 3, 7, 11}
Jadi, range fungsi f(x) adalah {1, 3, 7, 11}.
Jika daerah asal fungsi tidak diketahui, daerah asal f ditentukan semua himpunan bilangan real yang mungkin sehingga daerah hasilnya adalah bilangan real (fungsi terdefinisi pada bilangan real). Daerah asal seperti ini sering disebut daerah asal alami atau domain natural. Selanjutnya, daerah asal alami sering disebut dengan daerah asal.
Fungsi 
terdefinisi pada bilangan real jika p(x) ≥ 0.
Daerah asal alami fungsi adalah {x | p(x) ≥ 0, x ∈ R}.
Fungsi 
terdefinisi pada bilangan real jika q(x) ≠ 0.
Daerah asal alami fungsi adalah {x | q(x) ≠ 0, x ∈ R}.
Komposisi Fungsi
- Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi
- Perkalian dan Pembagian Fungsi
- Komposisi Fungsi
Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi
Jika f dan g merupakan fungsi, berlaku sifat-sifat aljabar fungsi sebagai berikut.
Pada operasi penjumlahan fungsi berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Bagaimana cara menentukan daerah asal fungsi pada operasi penjumlahan dan pengurangan? Diketahui f dan g merupakan fungsi dengan Df menyatakan daerah asal fungsi f dan Dg menyatakan daerah asal fungsi g. Daerah asal pada operasi penjumlahan dan pengurangan fungsi sebagai berikut.
Perkalian dan Pembagian Fungsi
Jika f dan g merupakan fungsi, berlaku sifat-sifat aljabar fungsi sebagai berikut.
Pada operasi perkalian fungsi berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Bagaimana cara menentukan daerah asal fungsi pada operasi perkalian dan pembagian? Diketahui f dan g merupakan fungsi dengan Df menyatakan daerah asal fungsi f dan Dg menyatakan daerah asal fungsi g. Daerah asal hasil operasi perkalian dan pembagian fungsi sebagai berikut.
Komposisi Fungsi
Jika f dan g fungsi dan Rf ∩ Dg ≠ ∅ maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis: g o f dan dibaca: g bundaran f) yang ditentukan dengan h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)).
Daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah Dg o f = {x ∈ Df | f(x) ∈ Dg} dengan Df menyatakan daerah asal fungsi f; Dg menyatakan daerah asal fungsi g; Rf menyatakan daerah hasil fungsi f; dan Rg menyatakan daerah hasil fungsi g.
Misalkan pada (g o f)(x) = g(f(x)) mula-mula x anggota A dipetakan oleh fungsi f ke y = f(x), lalu y dipetakan oleh fungsi g ke z = g(y) = g(f(x)). Komposisi (g o f)(x) disajikan pada diagram panah di atas.
Diketahui f, g, dan h suatu fungsi dan I(x) = x suatu fungsi identitas. Jika Rh ∩ Dg ≠ ∅, Rg ∩ Df ≠ ∅, dan RI ∩ Df ≠ ∅ maka pada operasi komposisi fungsi memiliki sifat-sifat berikut.
a. Pada operasi komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif, yaitu:
b. Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu:
c. Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat identitas, yaitu:
Fungsi Invers
- Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif
- Definisi Invers Fungsi
- Fungsi Invers
Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif
a. Fungsi Injektif (Fungsi Satu-Satu)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika setiap anggota A mempunyai bayangan berbeda anggota B. Perhatikan gambar berikut.
Fungsi f merupakan fungsi injektif. Sementara itu, fungsi g bukan fungsi injektif karena terdapat dua anggota C yang mempunyai bayangan (kawan) sama anggota D.
b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi surjektif jika setiap anggota B mempunyai pasangan dengan anggota A. Perhatikan gambar berikut.
Fungsi f merupakan fungsi surjektif. Sementara itu, fungsi g bukan fungsi surjektif karena terdapat anggota D yang tidak mempunyai pasangan anggota C.
c. Fungsi Bijektif (Fungsi Berkorespondensi Satu-Satu)
Suatu fungsi dikatakan fungsi bijektif jika fungsi tersebut merupakan injektif sekaligus surjektif. Perhatikan gambar berikut.
Fungsi f merupakan fungsi bijektif. Fungsi g bukan fungsi bijektif karena tidak injektif. Fungsi h bukan fungsi bijektif karena tidak surjektif.
Definisi Invers Fungsi
Fungsi Invers
Invers suatu fungsi belum tentu berbentuk fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan bentuk fungsi, invers tersebut disebut fungsi invers.
Secara umum tidak semua fungsi memiliki invers. Hanya fungsi bijektif yang memiliki fungsi invers. Apa saja sifat-sifat fungsi invers? Fungsi invers memiliki sifat-sifat sebagai berikut.
Menentukan invers fungsi dibedakan menjadi dua, yaitu invers fungsi jika diketahui grafiknya dan invers fungsi jika diketahui rumus fungsinya.
a. Invers fungsi jika diketahui grafiknya
b. Invers fungsi jika diketahui rumus fungsinya
0 Comments