Mengenal dan Memahami Identitas Trigonometri

 Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Pada identitas trigonometri dikenal istilah sinus, cosinus, dan tangen. Nah, ketiganya ini akan menjadi dasar dalam beberapa rumus matematika.

Bagaimana cara membuktikan identitas trigonometri? Sebuah identitas trigonometri dapat ditunjukkan kebenarannya dengan tiga cara. Cara pertama, dimulai dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. Cara kedua, mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. Cara ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama.

Ada 3 rumus identitas trigonometri yang perlu kamu ketahui seperti:

Rumus Identitas Trigonometri Ganjil Genap

Adapun rumus identitas trigonometri ganjil genap adalah sebagai berikut.

1. sin (-α) = -sin α
2. cos (-α) = cos α
3. tan (-α) = -tan α

Dari rumus di atas, terlihat kan jika sudutnya ada yang bertanda negatif? Lalu, apa sih arti sudut negatif itu? Suatu sudut dikatakan negatif jika arah putarannya searah dengan arah putaran jarum jam dan pengukurannya dimulai dari sumbu-x positif. Perhatikan gambar berikut.

Gambar di atas menunjukkan bahwa sudut (-α) terletak di kuadran IV. Nah, di kuadran IV itu semua nilai sudut sinus dan tangen bernilai negatif. Hanya nilai sudut cosinus yang bernilai positif. Itulah mengapa pada identitas ganjil genap hanya cosinus yang nilai sudut (-α) = sudut (α).

Contoh identitas trigonometri ganjil genap adalah sebagai berikut.

Rumus Identitas Trigonometri Kofungsi

Identitas kofungsi adalah hubungan antara dua fungsi trigonometri yang variabel sudutnya merupakan komplemen dari sudut 90^o. Sudut komplementer adalah dua sudut yang saling bersebelahan dan jumlah keduanya tepat 90^o. Adapun rumus identitas trigonometri kofungsi adalah sebagai berikut.

Ingat, nilai , ya!

Adapun contoh identitas kofungsi adalah sebagai berikut

Rumus Identitas Trigonometri Pythagoras

Identitas Phytagoras ini mengacu pada persamaan Phytagoras yang biasanya kamu gunakan, ya. Adapun rumus identitas Phytagoras adalah sebagai berikut.

• sin²α + cos²α = 1
• tan²α + 1 = sec²α
• cot²α + 1 = csc²α

Adapun contoh pembuktian identitas Phytagoras adalah sebagai berikut.

Rumus Identitas Trigonometri Sudut Ganda

Sudut ganda juga biasa disebut sudut rangkap, yaitu dua sudut yang besarnya dan arahnya sama serta terletak bersebelahan. Perhatikan gambar berikut.

Rumus identitas trigonometri untuk sudut ganda adalah sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut.

Diketahui persamaan berikut.

Buktikan dengan identitas sudut ganda bahwa persamaan di atas adalah benar!

Pembahasan:

Di persamaan tersebut ada dua identitas sudut ganda yang digunakan, yaitu cos(2α) dan sin(2 α). Diperoleh:

cos 2α = cos² α – sin² α

Oleh karena sin²α + cos²α = 1 ↔ cos²α = 1 – sin²α, maka cos(2α) = 1 – sin2α – sin²α = 1 – 2sin²α.

Jika disubstitusikan pada persamaan awal menjadi:

Jadi, persamaan tersebut adalah benar.

Rumus Identitas Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Identitas ini bisa digunakan untuk menentukan jumlah dan selisih trigonometri dari dua sudut yang nilainya berbeda. Adapun rumus yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Identitas jumlah dua sudut

Identitas jumlah dua sudut yang berbeda bisa dinyatakan sebagai berikut.

Perhatikan contoh berikut.

Jika tan(15^o) = q, tentukan nilai tan(75^o) dalam q!

Pembahasan:

Dari soal tersebut, kira-kira bagaimana ya solusinya? Apakah Quipperian sudah memiliki gambaran?

Oleh karena yang ditanyakan dalam bentuk tangen, gunakan rumus identitas jumlah dua sudut pada tangen, di mana tan(75^o) = tan(60^o + 15^o). Dengan demikian:

Jadi, tan , 

Rumus Identitas Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri Sinus dan Cosinus

Jika identitas sebelumnya berlaku untuk jumlah dan selisih dua sudut, maka identitas kali ini berlaku untuk jumlah dan selisih fungsi sinus dan cosinusnya. Adapun rumus identitasnya adalah sebagai berikut.

Identitas jumlah dua fungsi sinus dan cosinus

Identitas jumlah dua fungsi sinus dan cosinusnya adalah sebagai berikut.

Identitas selisih dua fungsi sinus dan cosinus

Identitas selisih dua fungsi sinus dan cosinusnya adalah sebagai berikut.

Perhatikan contoh berikut.

Diketahui persamaan berikut.

Buktikan bahwa persamaan di atas adalah benar.

Pembahasan:

Oleh karena persamaan di ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka persamaan tersebut adalah benar.

Rumus Identitas Perkalian Fungsi Trigonometri Sinus dan Cosinus

Jika kamu menemui perkalian antara fungsi sinus, antara fungsi cosinus, atau antar fungsi sinus-cosinus, gunakan identitas berikut.

Contoh Soal Identitas Trigonometri

Untuk mengasah pemahamanmu, yuk simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Diketahui persamaan trigonometri berikut ini.

tan x + cot x = sec x . csc x

Buktikan bahwa persamaan di atas adalah benar!

Pembahasan:

Di awal pembahasan, Quipper Blog sudah janji untuk membuktikan persamaan di atas, kan? Daripada penasaran, yuk kita buktikan bersama-sama. Untuk membuktikan kebenarannya, kamu hanya perlu mengubah salah satu persamaan, misalnya di ruas kiri saja maupun ruas kanan saja, sehingga diperoleh bentuk akhir yang sama. Kali ini, Quipper Blog akan mengubah persamaan di ruas kiri, ya.

Nah, di bagian pembilang di ruas kiri merupakan bentuk identitas Phytagoras, di mana sin²α + cos²α = 1. Dengan demikian:

Oleh karena bentuk akhirnya sama, maka persamaan tersebut adalah benar.

Jadi, persamaan tersebut adalah benar.

Contoh Soal 2

Dengan identitas trigonometri, buktikan bahwa sin(90^o – a) = cosa!

Pembahasan:

Di soal tertulis bahwa sin(90^o – a) = cosa. Untuk membuktikannya, gunakan identitas trigonometri selisih dua sudut seperti berikut.

Jadi, terbukti bahwa sin(90^o – a) = cosa.

Contoh Soal 3

Jika tan(5^o) = x, tentukan nilai tan(40^o) dalam x!

Pembahasan:

Oleh karena yang ditanyakan dalam bentuk tangen, gunakan rumus identitas selisih dua sudut pada tangen, di mana tan(40^o) = tan(45^o – 5^o). Dengan demikian:

Jadi, tan