Rangkuman Materi Matwa Kelas 11 Semester Genap

 1. Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah metode hitung bunga yang hanya dikenakan pada jumlah modal awal investasi atau utang selama periode tertentu. Sistem bunga tunggal tidak memperhitungkan bunga di periode sebelumnya yang terus berkembang dari waktu ke waktu. Alhasil, persentase bunga setiap periodenya tetap sama.

Rumus Bunga Tunggal

Tidak seperti bunga majemuk, rumus bunga tunggal cenderung lebih sederhana dan mudah dihitung. Dasar perhitungan bunga tunggal adalah pokok atau setoran awal. Adapun rumus bunga tunggal adalah sebagai berikut:

Bunga Tunggal = Pokok × Tingkat Bunga × Waktu

Keterangan:

• Pokok: Jumlah modal awal.
• Tingkat Bunga: Persentase bunga setiap periode (umumnya tahunan).
• Waktu: Lama periode yang dihitung dalam tahun.

Contoh:

1. Pak Raden hendak menempatkan sejumlah uangnya dalam deposito dengan suku bunga tunggal. Modal awal Pak Raden sebesar Rp70 juta.  Sementara itu, besaran bunga per tahunnya adalah 10%. Jangka waktu yang ditentukan oleh Pak Raden adalah 5 tahun. Lantas, berapakah bunga tunggalnya?

Jawab:

Bunga Tunggal = Pokok × Tingkat Bunga × Waktu
  = Rp70 juta × 10% × 5
  = Rp7 juta × 5
  = Rp35 juta

Total Investasi = Pokok Awal + Bunga
  = Rp70 juta + Rp35 juta
  = Rp105 juta

Jadi, bunga tunggal yang akan diperoleh Pak Raden setelah berdeposito selama 5 tahun adalah Rp35 juta. Dengan demikian, besar total dana yang dimiliki Pak Raden dari deposito selama 5 tahun adalah Rp105 juta.

2. Laras membutuhkan uang untuk memenuhi kebutuhan darurat sehingga ia berniat mengajukan pinjaman sebesar Rp20 juta dengan tingkat bunga 5%. Pinjaman tersebut akan dikembalikan dalam waktu 3 tahun. Berapakah bunga tunggalnya?

Jawab:

Bunga Tunggal = Pokok x Tingkat Bunga x Waktu
  = Rp20 juta x 5% x 3
  = Rp1 juta x 3
  = Rp3 juta

Total = Pokok Pinjaman + Bunga
         = Rp20 juta + Rp3 juta
         = Rp23 juta

Jadi, total bunga pinjaman selama 3 tahun yang harus dibayarkan adalah sebesar Rp3 juta. Sementara itu, total pinjaman yang harus dilunasi sebesar Rp23 juta.

2. Bunga Majemuk

Bunga majemuk prinsipnya diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi dari bunga periode sebelumnya, sehingga besar bunga setiap periodenya tidak sama. Jadi bisa kita simpulkan Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan pokok awal, yang juga mencakup semua bunga akumulasi dari deposito atau pinjaman periode sebelumnya.

Contoh Soal Bunga Majemuk 

1. Ibu menabung sebesar Rp.100.000,00 dengan bunga majemuk 4,5% tiap triwulan.  Tentukanlah saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun

Jawab:

Diketahui:

M0=Rp.100.000,00

I=4,5%=0,045

1 tahun = 4 triwulan

3,5 tahun  = 3,5 4triwulan = 14 triwulan,  maka n=14

Saldo tabungan Ibu setelah 3,5 tahun atau setelah 14 triwulan adalah:

2. Doni  mendepositokan uang di Bank sebesar Rp.10.000.000,00 selama 10 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Besar bunga yang didapatkan pada tahun ke-10 adalah

 Jawab:

Diketahui: 

M0 = Rp.10.000.000,00

n = 10

i = 5% = 0,05

Bunga yang didapatkan pada tahun ke-10:

 

Jadi bunga yang didapatkan pada tahun ke-10 sekitar Rp.775.664,00.

3. Anuitas 

Perbedaan Anuitas dan Angsuran

Seringkali orang bingung membedakan antara sistem anuitas dengan sistem angsuran biasa (sistem menurun). Berikut perbedaannya:

• Anuitas: Total cicilan bulanan tetap konstan. Cocok untuk kamu yang ingin kepastian anggaran bulanan. Di awal pembayaran, bunga lebih besar, lalu perlahan menurun seiring pokok meningkat.
• Angsuran (Sistem Menurun): Total cicilan berkurang setiap bulan. Porsi pokok dan bunga menurun bersamaan. Cocok untuk kamu yang ingin melunasi pokok

Rumus Anuitas

Perhitungan anuitas memerlukan rumus yang memungkinkan jumlah angsuran bulanan tetap sama, walaupun porsi pokok dan bunga berubah. Berikut dua rumus yang umum digunakan:

Rumus Dasar Anuitas

Bunga = SP × i × (30/360)

Keterangan:

SP = Saldo pokok pinjaman pada bulan sebelumnya.
i = Suku bunga tahunan..
30 = Jumlah hari dalam sebulan.
360 = Jumlah hari dalam setahun.

Rumus Pengembangan

P × i × [(1 + i)ᵗ / (1 + i)ᵗ - 1]

Keterangan:
P = Pokok pinjaman.
i = Suku bunga per periode.
t = Tenor atau jumlah periode kredit.

Contoh atau Simulasinya

Supaya semakin jelas mengenai perhitungan mengenai anuitas, yuk perhatikan simulasi atau contoh berikut ini .  Kamu adalah seorang pebisnis UMKM yang memiliki utang modal usaha sebesar Rp12 juta. Utang ini memiliki periode pembayaran selama 12 bulan atau satu tahun dengan bunga 10 persen. Yuk kita hitung jumlah bunga yang harus dibayar dan jumlah cicilan per bulan. Berdasarkan rumus bunga anuitas, maka cicilan bulanan dihitung dengan cara berikut. 

12.000.000 x 0,83% x (1,105 / 0,105) = Rp1.054.991,- 

Maka untuk perhitungan bunganya kamu bisa lihat di tabel bawah ini. Pastikan juga kamu sudah menghitung besaran bunga anuitas seperti di rumus diatas.

Baca Selengkapnya Materi 

4. Fungsi Penawaran dan Permintaan

Telah di ketahui dalam hukum ekonomi, jika harga naik – ceteris paribus – maka permintaan akan turun, dan jika harga turun – ceteris paribus – maka permintaan akan naik.

Fungsi Permintaan

Fungsi Penawaran

Contoh Soal Fungsi Permintaan

Jika harga barang Rp60,000 per unit, maka jumlah permintaan 20 unit. Dan jika harga barang Rp40,000 per unit, maka jumlah permintaan 30 unit. Tentukan persamaan fungsi permintaan!

Penyelesaian:

Diketahui:

P1 = 60         Q1 = 20

P2 = 40         Q2 = 30

Nah, setelah ini teman-teman bisa pakai rumus

    

   

 

    

 

       

Sehingga menjadi,

 

Contoh Soal Fungsi Penawaran

Soal 1

Diketahui fungsi penawaran suatu barang adalah Qs = 100 + 5P. Berapa jumlah barang yang ditawarkan jika harga barang tersebut Rp50?

Pembahasan:
Fungsi penawaran: Qs = 100 + 5P
Harga (P) = 50

Langkah-langkah:
1. Masukkan nilai P ke dalam fungsi penawaran
2. Hitung hasilnya

Qs = 100 + 5(50)
= 100 + 250
= 350 unit

Jadi, pada harga Rp50, jumlah barang yang ditawarkan adalah 350 unit.

Soal 2

Jika fungsi penawaran sebuah produk adalah Qs = 50 + 2P, pada harga berapakah jumlah yang ditawarkan sebanyak 150 unit?

Pembahasan:
Fungsi penawaran: Qs = 50 + 2P
Jumlah yang ditawarkan (Qs) = 150 unit

Langkah-langkah:
1. Substitusi Qs dengan 150
2. Selesaikan persamaan untuk P

150 = 50 + 2P
100 = 2P
P = 100 / 2 = 50

Jadi, jumlah yang ditawarkan akan mencapai 150 unit pada harga Rp50.

Soal 3

Fungsi penawaran suatu barang adalah Qs = -30 + 3P. Berapakah harga terendah agar produsen bersedia memproduksi?

Pembahasan:
Fungsi penawaran: Qs = -30 + 3P

Langkah-langkah:
1. Produsen akan memproduksi jika Qs > 0
2. Selesaikan ketidaksamaan untuk P

-30 + 3P > 0
3P > 30
P > 10

Jadi, harga terendah agar produsen bersedia memproduksi adalah Rp10. Pada harga ini, Qs = 0, dan pada harga di atasnya, Qs akan positif

Baca Selengkapanya

5. Program Linear

Program linear biasanya berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Program Linear

Memodelkan Matematika dengan Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika. Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua.  Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.

Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000

Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

200x + 180y ≤ 72.000

150x + 170y ≤ 64.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Jawab

Dengan syarat:

Kapasitas tempat: x + y ≤ 400

Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 

x ≥ 0

y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel

C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang

 dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

Apel: 150 kg

Pisang: 250 kg

6. Fungsi Kuadrat

Ciri-Ciri Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat memiliki beberapa ciri, di antaranya yaitu:

1. Berbentuk parabola

2. Grafiknya simetris

3. Hanya memiliki titik maksimum saja atau titik minimum saja, namun tidak keduanya

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan aturan yang memasangkan semua anggota daerah asal tepat satu ke daerah kawan dengan pangkat pada variabel tertingginya adalah dua.

Bentuk umum dari fungsi kuadrat yaitu f(x) = ax2 + bx + c, dengan keterangan sebagai berikut:

Keterangan:

a = koefisien dari x2, di mana a ≠ 0

b = koefisien dari x

c = konstanta

Ada tiga macam rumus yang bisa kita pakai untuk merumuskan fungsi kuadrat berdasarkan grafik, yaitu:

1. Jika pada grafik diketahui 2 titik sembarang pada sumbu x, maka menggunakan rumus y = a(x – x1)(x – x2).
2. Jika pada grafik diketahui titik puncak (xp, yp) dan 1 titik sembarang, maka menggunakan rumus y = a(x – xp)2 + yp.
3. Jika pada grafik diketahui 3 titik sembarang, maka menggunakan bentuk umum fungsi kuadrat yaitu y = ax2 + bx + c, lalu gunakan eliminasi untuk mencari nilai a, b, dan c.

Contoh Soal Grafik Fungsi Kuadrat

Sekarang, kita kerjakan contoh soal, yuk! Coba kamu perhatikan grafik berikut:

 

Dari grafik tersebut, diketahui titik puncak atau titik balik dari suatu fungsi kuadrat, yaitu di titik (2, 1). Selain itu, diketahui juga 1 titik sembarang yaitu (1, 2). Coba rumuskan fungsi kuadratnya!

Jawaban:

Diketahui dari soal bahwa:

• (xp, yp) = (2, 1)
• Titik sembarang = (1, 2)

 

Nah, sesuai penjelasan tadi, jika pada grafik diketahui titik puncak (xp, yp) dan 1 titik sembarang, maka kita menggunakan rumus:

y = a(x – xp)2 + yp

Yuk, kita coba uraikan!

y = a(x – xp)2 + yp

2 = a(1 – 2)2 + 1

2 = a(-1)2 + 1

2 = a(1) + 1

2 = a + 1

a = 2 – 1

a = 1

Karena titik puncaknya di (2, 1) dan nilai a = 1, maka fungsi kuadratnya:

y = a(x – xp)2 + yp

y = 1(x – 2)2 + 1

y = x2 – 4x + 4 + 1

y = x2 – 4x + 5

Dua orang berangkat pada waktu yang sama dan dari tempat yang sama, serta bepergian melalui jalan-jalan yang saling tegak lurus. Seseorang bepergian dengan kecepatan 4 km/jam lebih cepat dari yang lainnya. Setelah 2 jam mereka terpisah pada jarak 40 km. Tentukan jumlah jarak yang ditempuh kedua orang tersebut.

7. Fungsi Eksponen

Sifat-Sifat Eksponen

Ada beberapa sifat yang bisa kamu ketahui dalam memahami eksponen, di antaranya:

 1. Pangkat Penjumlahan

    am · an = am + n (perkalian eksponen dengan basis yang sama, maka pangkatnya harus         ditambah)

    Contoh: 42 . 43 = 42 + 3 = 45

 2. Pangkat Pengurangan

    am : an = am – n (pembagian eksponen dengan basis yang sama, maka pangkatnya harus     dikurang)

    Contoh: 45 : 43 = 45 – 3 = 42

   

3. Pangkat Perkalian

    (am)n = am × n (jika bilangan berpangkat dipangkatkan lagi, maka pangkatnya harus dikali)

    Contoh: (42)3 = 42 × 3 = 46

 4. Perkalian Bilangan yang Dipangkatkan

    (a · b)m = am· bm (perkalian bilangan yang dipangkatkan, maka masing-masing bilangan        tersebut dipangkatkan juga)

    Contoh: (3. 5)2 = 32. 52

 5. Perpangkatan pada Bilangan Pecahan

    Untuk bilangan pecahan yang dipangkatkan, maka bilangan pembilang dan penyebutnya        harus dipangkatkan semua, dengan syarat nilai “b” atau penyebutnya tidak boleh sama            dengan 0.

 

    Contoh:

 6. Pangkat Negatif

    Pada sifat ini, jika (an)di bawah itu positif, maka saat dipindahkan ke atas menjadi negatif.        Begitu juga sebaliknya, jika (an) di bawah itu negatif, maka saat dipindahkan ke atas                menjadi positif. Kita lihat rumus dan contohnya ya.

    

    Contoh:

 7. Pangkat Pecahan

    Pada sifat ini, kamu bisa lihat, terdapat akar n dari am. Nah, ketika diubah jadi eksponen,        akar n menjadi penyebut dan pangkat m menjadi pembilang, dengan syarat nilai n harus        lebih besar atau sama dengan dua (n ≥ 2). Kita lihat rumus dan contohnya ya.

 

    Contoh:

 8. Pangkat Nol

    a0 = 1

Contoh

1. Jika Anda berencana menabung Rp 10.000.000 dalam 10 tahun ke depan. Berapa banyak uang yang harus Anda tabung per tahun jika bunga majemuk 24% per tahun? Inilah solusinya. Dalam menentukan penyelesaian diterapkan prinsip bunga majemuk yaitu y = p(1+) mt dengan keterangan sebagai berikut:

y: modal akhir, p: modal pertama, r: bunga besar, m: jumlah bunga, t: waktu

10.000.000 = p(1 + 0,241)10

10.000.000 = (1,24)10

P = 10.000.0001,24. 10

P = 10.000.00012.4

P = 806.451,61