Determinan dan Invers Matriks

Determinan Matriks dan Invers Matriks serta Contoh Soal dan Pembahasan. Determinan adalah sebuah nilai yang berkaitan dengan matriks persegi atau matriks bujur sangkar. Determinan matriks persegi sangat diperlukan sebagai dasar untuk menghitung invers dari matriks tersebut dan aplikasi matriks seperti dalam menyelesaikan masalah kontekstual misalnya mencari penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel atau sistem persamaan linier tiga variabel. Nilai determinan suatu matriks persegi dapat diperoleh dengan cara tertentu, tergantung dari ordo setiap matriks. Determinan dari suatu matriks A dinotasikan denagan det.A atau |A|. Jika sebuah matriks memiliki determinan yang nilainya 0, maka matriks tersebut disebut matriks singular. Jadi, jika |A| = 0, maka matriks A adalah matriks singular. Determinan matriks yang akan kita bahas disini adalah determinan matriks persegi berordo 1 x 1, 2 x2, dan 3 x 3 saja.

Determinan Matriks

Determinan Matriks Berordo 1 x 1

Jika 

$A=\left(a\right)$

 maka determinan dari matriks 

$A$

 adalah: 

$|A|=a$

Contoh soal 1.

Jika diketahui matriks 

$A=\left(4\right)$

 maka determinan dari matrikas A adalah . . . .

Pembahasan:

$det.A=|A|=4$

Contoh soal 2.

Jika diketahui matriks 

$A=(-5)$

 maka determinan dari matrikas A adalah . . . .

Pembahasan:

$det.A=|A|=-5$

Determinan Matriks Berordo 2 x 2.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

 maka determinan 

$A$

 adalah:

$det.A=|A|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$

Contoh soal 3.

Diketahui matriks 

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 4\end{array}\right)$

, maka determinan dari matriks 

$A$

 adalah . . . .

Pembahasan:

$|A|=ad-bc$

$=3.4-(-1).2$

$=12-(-2)$

$=12+2$

$=14$

Contoh soal 4.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 6& -3\end{array}\right)$

 maka 

$|A|=$

 . . . .

Pembahasan:

$|A|=ad-bc$

$=5.(-3)-(-4).6$

$=-15-(-24)$

$=-15+24$

$=9$

Determinan Matriks Berordo 3 x 3.

Penentuan determinan matriks berordo 3 x 3 yang akan kita bahas adalah penentuan determinan dengan aturan Sarrus. Selain aturan Sarrus, determinan matriks berordo 3 x 3 dapat juga ditentukan dengan cara ekspansi (penguraian) secara baris atau kolom. Tapi kita belum membahasnya, karena nanti ada topik khusus untuk membahas hal tersebut.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$

maka determinan matriks A

$A$

 adalah:

$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\\ g& h\end{array}$

$=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb$

Contoh soal 5.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 2& 4\\ 5& 3& 2\end{array}\right)$

 maka determinan A 

$A$

 adalah . . . .

Pembahasan:

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 2& 4\\ 5& 3& 2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 2& 4\\ 5& 3& 2\end{array}\right|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\\ 5& 3\end{array}$

$=\mathrm{3.2.2}+\mathrm{2.4.5}+\mathrm{1.1.3}-\mathrm{5.2.1}-\mathrm{3.4.3}-\mathrm{2.1.2}$

$=12+40+3-10-36-4$

$=55-50$

$=5$

Contoh soal 6.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 5& 1& 2\\ 4& 3& 6\end{array}\right)$

 maka determinan 

$A$

 adalah . . . .

Pembahasan:

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 5& 1& 2\\ 4& 3& 6\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 5& 1& 2\\ 4& 3& 6\end{array}\right|\begin{array}{cc}2& 0\\ 5& 1\\ 4& 3\end{array}$

$=\mathrm{2.1.6}+\mathrm{0.2.4}+\mathrm{3.5.3}-\mathrm{4.1.3}-\mathrm{3.2.2}-\mathrm{6.5.0}$

$=12+0+45-12-12-0$

$=57-24$

$=33$

Sifat-sifat Determinan Matriks

$1.|AB|=|A||B|$

$2.$

 Jika determina matriks 

$A$

 yang berordo 

$m\times m$

 adalah

$|A|$

 maka determinan dari matriks 

$kA$

 adalah 

$k^m|A|$

$3.|A|=|A^t|$

$4.|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

Invers Matriks

Pada pembahasan di atas kita sudah mempelajari tentang determinan matriks berordo 2 x 2 dan matriks berordo 3 x 3. Invers matriks persegi tidak bisa lepas dari determinan matriks. Dengan kata lain, determinan matriks adalah syarat penting untuk menentukan invers matriks persegi. Untuk setiap bilangan real 

$p(p\ne 0)$

 akan selalu ada bilangan real 

$p^{-1}$

 sedemikian rupa sehingga 

$p.p^{-1}=p^{-1}.p=1$

. Bilangan real 

$p^{-1}$

 disebut invers dari 

$p$

. Berdasarkan pemikiran di atas, kita bisa membuat analogi yang sama terhadap matriks persegi. Matriks persegi A berordo m x m akan mempunyai invers jika ada matriks B yang berordo sama jika dikalikan dengan matriks A akan menghasilkan matriks Identitas yang berordo m x m 

$\left(I_{m\times m}\right)$

. 

$A.B=B.A=I$

. Matriks A dan matriks B disebut saling invers.

Invers Matriks Berordo 2 x 2

Invers matriks A berordo 2 x 2 adalah adjoin dari matriks A dibagi dengan determinan matriks A.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

 maka 

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

Matriks 

$\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

 disebut dengan matriks adjoint 

$A$

,

$(ad-bc)$

 adalah determinan matriks 

$A$

, sehingga:

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(adjointA\right)$$

Contoh soal 7.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 5& 3\end{array}\right)$

 maka 

$A^{-1}$

 adalah . . . .

Pembahasan:

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

$=\frac{1}{4.3-2.5}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -5& 4\end{array}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -5& 4\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -1\\ -\frac{5}{2}& 2\end{array}\right)$

Contoh soal 8.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 5& -7\end{array}\right)$

 maka 

$A^{-1}$

 adalah . . . .

Pembahasan:

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

$=\frac{1}{2.(-7)-(-3).5}\left(\begin{array}{cc}-7& 3\\ -5& 2\end{array}\right)$

$=\frac{1}{-14-(-15)}\left(\begin{array}{cc}-7& 3\\ -5& 2\end{array}\right)$

$=\frac{1}{-14+15}\left(\begin{array}{cc}-7& 3\\ -5& 2\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}-7& 3\\ -5& 2\end{array}\right)$

Invers Matriks Berordo 3 x 3.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$

 maka 

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(adjointA\right)$

Determinan A bisa dicari dengan cara Sarrus.

$Adjoint\left(A\right)$

 

$=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}b& c\\ h& i\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}b& c\\ e& f\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}a& c\\ g& i\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}a& c\\ d& f\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}a& b\\ g& h\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right|\end{array}\right)$

Contoh soal 9.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 2\\ 1& 3& 5\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$

 maka 

$A^{-1}=$

 . . . .

Pembahasan:

$Adjoint\left(A\right)$

 

$=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 0& 1\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 5\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 1\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 5\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 0\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 3\end{array}\right|\end{array}\right)$

$AdjointA=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 14\\ 9& -1& -13\\ -6& 8& 5\end{array}\right)$

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}3& 4& 2\\ 1& 3& 5\\ 2& 0& 1\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 3\\ 2& 0\end{array}\right|$

$=\mathrm{3.3.1}+\mathrm{4.5.2}+\mathrm{2.1.0}-\mathrm{2.3.2}$

 

$-\mathrm{0.5.3}-\mathrm{1.1.4}$

$=9+40+0-12-0-4$

$=33$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}.\left(adjointA\right)$

$=\frac{1}{33}\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 14\\ 9& -1& -13\\ -6& 8& 5\end{array}\right)$

Contoh soal 10.

Jika 

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 0\\ 0& 1& 1\\ 2& -1& 4\end{array}\right)$

 maka 

$A^{-1}=$

 . . . .

Pembahasan:

$Adjoint\left(A\right)$

 

$=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 4\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-3& 0\\ -1& 4\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}-3& 0\\ 1& 1\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 4\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 4\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -1\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& -1\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 0& 1\end{array}\right|\end{array}\right)$

$AdjointA=\left(\begin{array}{ccc}5& 12& -3\\ 2& 4& -1\\ -2& -5& 1\end{array}\right)$

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& -3& 0\\ 0& 1& 1\\ 2& -1& 4\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 0& 1\\ 2& -1\end{array}\right|$

$=\mathrm{1.1.4}+(-3).1.2+\mathrm{0.0.}(-1)-\mathrm{2.1.0}$

 

$-(-1).1.1-\mathrm{4.0.}(-3)$

$=4-6+0-0+1-0$

$=-1$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}.\left(adjointA\right)$

$=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{ccc}5& 12& -3\\ 2& 4& -1\\ -2& -5& 1\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}-5& -12& 3\\ -2& -4& 1\\ 2& 5& -1\end{array}\right)$

Sifat-sifat Invers Matriks

$1.A.A^{-1}=A^{-1}.A=1$

$2.{\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$

$3.(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

$4.{\left(A^{-1}{B}^{-1}\right)}^{-1}=BA$

$5.|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

$6.JikaAX=BmakaX=A^{-1}B$

$7.JikaXA=BmakaX=B{A}^{-1}$