Di materi Matematika kelas 10 sebelumnya, kita udah belajar tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel atau SPLDV. Persamaan ini terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing punya dua variabel. Sesuai namanya, SPLTV sedikit berbeda SPLDV. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah persamaan linear yang mengandung tiga variabel. Misalnya, variabel x, y, dan z.
Supaya kita bisa lebih gampang membedakan antara persamaan linear tiga variabel dengan dua variabel, coba perhatikan contohnya berikut ini. Diketahui 2x – y = 8 dan x + 2y = 9 adalah sistem persamaan linear dua variabel. Gimana solusi penyelesaiannya? Elo masih ingat, kan?
Di sini, nilai x dan y adalah 5 dan 2. Karena, kalau kedua nilai tersebut elo masukkan ke dalam persamaan, keduanya bakal memenuhi persamaan pertama dan kedua. Artinya, nilai x dan y memenuhi persamaan linear dua variabel tersebut.
Terus, gimana kalau persamaan linear tiga variabel? Kira-kira, sama nggak dengan persamaan linear dua variabel?
Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel punya suatu bentuk umum yang dijadikan sebagai rumus. Rumus sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah sebagai berikut.
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Ada tiga metode yang biasanya digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, yakni subtitusi, eliminasi, dan campuran.
Subtitusi
Terdapat beberapa langkah yang digunakan guna menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan metode subtitusi, yaitu:
- Pilih salah satu persamaan, selanjutnya nyatakan x sebagai fungsi dari y dan z, atau sebaliknya, y menjadi fungsi x dan z, bisa juga z menjadi fungsi x dan y.
- Selanjutnya, nilai x atau y atau z yang didapatkan pada langkah sebelumnya, disubtitusikan ke dua persamaan yang lain sehingga sistem persamaan linear dua variabel diperoleh.
- Selesaikan nilai yang diperoleh pada langkah ke dua
- Kemudian, nilai yang telah diperoleh pada langkah ketiga disubtitusikan dengan salah satu persamaan di awal agar diperoleh nilai dari variabel ketiga.
Contoh soal:
x+ y + 2z = 0
x – y + z = 4
3x + 2y + z = 2
Penyelesaian:
x+ y + 2z = 0…………….(1)
x – y + z =4………………(2)
x – 3x + 2y + z = 2……….(3)
Persamaan (2) diubah menjadi x = 4 + y – z………..(4)
Subtitusikan persamaan (4) ke persamaan (1):
x+ y + 2z = 0
(4 + y - z) + y + 2z = 0
4 + y – z + y + 2z = 0
2y + z = -4
z = -4 – 2y………..(5)
Subtitusikan persamaan (4) ke persamaan (3):
3x + 2y + z = 2
3 (4 + y - z) + 2y + z = 2
12 + 3y – 3z + 2y + z = 2
5y – 2z = -10……….(6)
Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan (6):
5y – 2z = 10
5y – 2 (-4 – 2y) = -10
5y + 8 + 4y = -10
9y = -18
y = -2
Subtitusikan persamaan y = -2 ke persamaan (5):
Z = -4 – 2y
-4 – 2(-2)
z = -4 + 4
z = 0
Eliminasi
Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan memakai metode eliminasi ialah sebagai berikut:
- Salah satu variabel x, y, atau z harus dieliminasi sehingga ditemukan sistem persamaan linear dua variabel.
- Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan mengeliminasi variabel kedua untuk menemukan nilai dari variabel ketiga, atau sebaliknya, mengeliminasi variabel ketiga untuk mendapatkan nilai dari variabel kedua.
- Mengulangi langkah 1 dan 2 dengan pilihan variabel yang tidak sama sehingga menemukan nilai dari ketiga variabel.
Contoh soal:
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Penyelesaian:
x + y + 2z = 9………….(1)
2x + 4y – 3z = 1……….(2)
3x + 6y – 5z = 0……….(3)
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sampai ditemukan:
Gabungan (Eliminasi dan Subtitusi)
Metode gabungan yaitu cara mencari sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi.
Contoh soal:
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Penyelesaian:
x + y + 2z = 9………….(1)
2x + 4y – 3z = 1………..(2)
3x + 6y – 5z = 0………..(3)
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sampai ditemukan:
Subtitusi y = 2 ke persamaan (5) sampai ditemukan:
x + 2y = 5
x + 2(2) = 5
x + 4 = 5
x = 1
Subtitusi x = 1dan y = 2 ke persamaan (1) sampai ditemukan:
x + y + 2z = 9
1 + 2 + 2z = 9
3 + 2z = 9
2z = 6
z = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(1,2,3)}
Sistem persamaan linear tiga variabel, di kenal dengan simbol x, y, dan z di dalam Matematika. Setiap persamaan dengan bentuk ɑx + by + cz = d dimana ɑ, b, dan c merupakan konstanta dan nilainya tidak nol, maka itulah yang disebut dengan sistem persamaan linear tiga variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan menggunakan tiga metode, yaitu subtitusi, eliminasi dan campuran