Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah >, <, ≤, atau ≥.
ax + by > cax + by < cax + by ≥ cax + by ≤ c
berikut adalah contohnya
2x + 3y > 6
4x – y < 9
Berbeda dengan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel yang berupa himpunan pasangan titik-titik atau jika digambar grafiknya akan berupa garis lurus, penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berua daerah penyelesaian.
Dalam praktiknya penyelesaian pertidaksamaan linear dapat berupa daerah diarsir atau sebaliknya daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berupa daerah bersih.
Untuk menentukkan daerah penyelesaiannya, dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut.
- Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel
- Lukis grafik/garis dari persamaan linear dua variabel tadi. Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan atau menggunakan dua titik sembarang yang dilalui oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius
- Lakukan uji titik yang tidak dilalui oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Jika menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, namun apabila menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel berikut
a. 3x + y < 9
b. 4x – 3y ≥ 24
Penyelesaian
a. 3x + y < 9
3x + y = 9
Grafik Penyelesaian
(Garis putus-putus digunakan menunjukkan tanda ketidaksamaan < atau > dengan kata lain tanda ketidaksamaan tanpa sama dengan)
Uji titik (0, 0)
3(0) + 0 < 9
0 < 9 (benar)
Karena pernyataannya menjadi benar, maka (0, 0) termasuk penyelesaianya. Sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan penyelesaianya. Dalam hal ini yang daerah bersih merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan.
b. 4x – 3y ≥ 24
4x – 3y = 24
Grafik Penyelesaian
Uji titik (0, 0)
4(0) – 3(0) ≥ 24
0 ≥ 24 (salah)
Karena pernyataanya menjadi salah, maka (0, 0) bukan termasuk penyelesaianya. Sehingga daerah penyelesainnya tidak memuat (0, 0) dan daerah bersihnya (daerah penyelesaian) berada di bawah garis.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut
Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel berikut!
x + y ≤ 9
6x + 11 y ≤ 66
x ≥ 0
y ≥ 0
Penyelesaian
x + y ≤ 9
x + y = 9
6x + 11 y ≤ 66
6x + 11 y = 66
x ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan sumbu y dengan daerah penyelesaian di kanan sumbu y
y ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan sumbu x dengan daerah penyelesaian di atas sumbu x
Grafik Penyelesaian
Uji titik (0, 0)
0 + 0 ≤ 9
0 ≤ 9 (benar)
Uji titik (0, 0)
6(0) + 11(0) ≤ 66
0 ≤ 66 (benar)
Contoh 3
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel berikut!
x + y ≤ 5
4x + 6 y ≤ 24
x ≥ 1
y ≥ 2
Penyelesaian
x + y ≤ 5
x + y = 5
4x + 6 y ≤ 24
4x + 6 y = 24
x ≥ 1, gambar garisnya melalui x = 1 dan sejajar sumbu y dengan daerah penyelesaian di kanan garis
y ≥ 2, gambar garisnya melalui y = 2 dan sejajar sumbu x dengan daerah penyelesaian di atas garis
Grafik Penyelesaian
Uji titik (0, 0)
0 + 0 ≤ 9
0 ≤ 9 (benar)
Uji titik (0, 0)
6(0) + 11(0) ≤ 66
0 ≤ 66 (benar)
Untuk menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal
Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggota bilangan real.
–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan Contoh Soal
Untuk menggambar daerah penyelesaian dari sitem pertidaksamaan yang dimaksud, lakukan langkah-langkah berikut:
Langkah pertama. Ubahlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang dimaksud menjadi persamaan linear, kemudian gambarkan persamaan linear tersebut pada bidang koordinat. Grafik dari persamaan linear berupa garis lurus. Untuk itu, cari dua titik yang dilewati oleh garis tersebut, kemudian hubungkan kedua titik tersebut menjadi suatu garis lurus. Dua titik ini biasanya dipilih titik pada sumbu-x dan sumbu-y, akan tetapi apabila kurang memungkinkan, pilihlah titik-titik lain.
Sehingga garis –x + 8y = 80 melalui titik-titik (0, 10) dan (16, 12). Dengan cara yang sama, dapat dicari 2 titik yang dilalui persamaan garis lainnya.
Sehingga, garis-garis dari –x + 4y = 80, 2x – 4y = 5, 2x + y = 12, dan 2x – y = 4 dapat digambarkan seperti berikut.
Langkah kedua. Arsirlah daerah dari masing-masing pertidaksamaan. Untuk menentukan daerah pertidaksamaan, pilihlah salah satu titik yang terdapat di kanan atau di kiri, atas atau bawah dari garis. Apabila koordinat titik tersebut disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan dan menghasilkan pernyataan yang benar, maka daerah titik tersebut merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Arsirlah daerah penyelesaian tersebut. Sebaliknya, apabila koordinat titik tersebut disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan dan menghasilkan pernyataan yang salah, maka daerah titik tersebut bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Arsirlah daerah yang berseberangan terhadap titik tersebut. Misalkan kita akan menemukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan –x + 8y ≤ 80. Misalkan kita pilih titik (0, 12) yang terletak di atas garis sebagai titik uji. Kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan sebagai berikut.
Dengan mensubstitusikan titik (0, 12) ke pertidaksamaan –x + 8y ≤ 80 menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah yang memuat titik (0, 12) bukan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Sehingga daerah yang berlawanan dengan daerah tersebut, yaitu daerah bawah, yang kita arsir.
Dengan cara yang sama, kita cari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan lainnya. Setelah itu kita gambarkan daerahnya seperti pada gambar berikut.
Langkah ketiga. Arsirlah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang dimaksud. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari himpunan penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan. Atau secara visual, daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan daerah yang terkena arsiran dari semua daerah penyelesaian. Sehingga himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan –x + 8y ≤ 80, 2x – 4y ≤ 5, 2x + y ≥ 12, 2x – y ≥ 4, x ≥ 0, dan y ≥ 0 dapat digambarkan sebagai berikut.
