Pengertian Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan berfungsi untuk membantu kita menghitung jumlah kemungkinan atau pola-pola tertentu dengan cara yang lebih sistematis. Kaidah pencacahan bisa diterapkan di banyak kasus, mulai dari masalah kombinatorik, probabilitas, hingga statistik.
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita mendengar istilah semua kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan. Misalnya, seorang melempar dadu maka ada 6 kemungkinan, seorang melempar mata uang maka ada 2 kemungkinan. Pada bagian ini kamu akan mempelajari bagamana menghitung banyaknya kejadian dari suatu percobaan atau suatu peristiwa.
Kaidah pencacahan atau Counting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Kaidah pencacahan terdiri atas:
- Aturan penjumlahan dan Aturan perkalian
- Permutasi, dan
- Kombinasi.
Berikut ini beberapa contoh soalnya
Aturan Penjumlahan
Contoh Soal 1
Ahmed memiliki beragam jenis kendaraan dengan jumlah yang berbeda-beda. Ia memiliki 4 buah mobil, 5 buah sepeda motor, dan 3 buah sepeda.
Dari keterangan tersebut, tentukan berapa jumlah cara Ahmed pergi ke kantor!
Pembahasan:
Perlu dipahami bahwa Ahmed hanya bisa mengendarai satu dari semua kendaraan yang Ia miliki. Mustahil baginya untuk mengendarai beberapa secara bersamaan.
Berdasarkan aturan penjumlahan, total jumlah cara yang bisa dilakukan Ahmed untuk pergi ke kantor ialah:
4 + 5 + 3 = 12
Jadi, Ahmed bisa ke kantor dengan menggunakan 12 cara.
Contoh Soal 2
Ella suka sekali mendengarkan musik dan dia ingin memperluas genre musik yang didengarkannya. Ia pun membuat sebuah daftar putar pada aplikasi streaming musik.
Daftar putar tersebut terdiri dari 5 lagu genre pop, 7 lagu genre jazz, dan 8 lagu genre opera. Dari data tersebut, tentukanlah ada berapa cara Ella bisa memilih lagu yang ingin Ia dengar!
Pembahasan:
Ella hanya bisa mendengarkan lagu pilihannya satu. Ia tidak bisa mendengarkannya secara bersamaan.
Berdasarkan aturan penjumlahan, maka total banyak cara Ella memilih lagu yang akan dinikmatinya adalah:
5 + 7 + 8 = 20
Jadi, ada 20 cara Ella bisa memilih lagu untuk didengarkan.
Itulah bagian pertama dari contoh soal aturan penjumlahan, perkalian, permutasi, dan kombinasi. Yuk, lanjut pelajari bagian contoh soal aturan perkalian di bawah!
Aturan Perkalian
Contoh Soal 3
Sebagai seorang Sales, Arman dituntut untuk selalu berpenampilan menarik saat bekerja. Ia pun hendak membuat sebuah capsule wardrobe yang terdiri dari 5 kemeja, 7 celana formal, dan 3 blazer.
Dari data tersebut, tentukanlah berapa banyak cara atau variasi Arman bisa berpakaian!
Pembahasan:
Arman bisa memakai item pakaiannya secara bersamaan yaitu celana, kemeja, dan blazer. Berdasarkan aturan perkalian, maka banyaknya variasi outfit yang bisa dikenakan oleh Arman adalah berikut ini:
5 x 7 x 3 = 105
Jadi, banyaknya variasi outfit yang bisa didapatkan oleh Arman adalah 105 ide outfit.
Contoh Soal 4
Sebagai seorang manajer restoran di Bali, Vina memiliki tugas membuat variasi set menu. Saat ini restoran memiliki 5 macam menu pembuka, 10 menu utama, dan 3 menu penutup serta 5 menu minuman.
Dari keterangan tersebut, berapakah jumlah set menu yang bisa dibuat oleh Vina?
Pembahasan:
Setiap customer bisa makan lebih dari satu hidangan yang membentuk satu set menu. Berdasarkan aturan perkalian, maka jumlah set menu yang bisa dibuat oleh Vina adalah sebagai berikut ini:
5 x 10 x 3 x 5 = 750
Jadi, jumlah variasi set menu yang bisa dibuat oleh Vina adalah 750 variasi.
Permutasi
Contoh Soal 5
Sebuah kaleng bekas biskuit dijadikan tempat beberapa warna benang jahit.
Jumlahnya ada 7 benang jahit dengan warna yang berbeda-beda. 3 benang berwarna hitam, 2 benang berwarna merah, dan 2 benang berwarna putih.
Bila gulungan benang tersebut secara teratur disusun sebaris, tentukanlah berapa banyak variasi susunan yang bisa tercipta!
Pembahasan:
n = 7
a = 3
b = 2
c = 2
P = ?
P = 7! / 3! 2! 2!
P = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / ( 3 x 2 x 1 ) ( 2 x 1 ) ( 2 x 1 )
P = 7 x 6 x 5 x 4 / 4
P = 840 / 4
P = 210
Jadi, variasi susunan yang bisa tercipta dari 7 benang berbeda warna adalah 210 variasi.
Contoh Soal 6
Sebuah organisasi baru saja terbentuk dan ingin membuat susunan kepengurusan.
Diketahui jumlah anggota saat ini ada sebanyak 10 anggota. Posisi yang dibutuhkan adalah ketua, wakil, bendahara, sekretaris, dan pengawas.
Dari data tersebut, tentukanlah berapa peluang variasi dari susunan panitia yang bisa tercipta!
Pembahasan:
n = 10
r = 5
P = ?
10P5 = 10! / ( 10 – 5 )!
10P5 = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1)
10P5 = 10 x 9 x 8 x 7 x 6
10P5 = 30240
Jadi, jumlah variasi dari susunan pengurus yang bisa tercipta adalah 30240.
Contoh Soal 7
Sebuah presentasi akan dilakukan dan masing-masing kelompok berjumlah 4 orang. Tentukan berapa variasi dari tempat duduk yang bisa dibuat!
Pembahasan:
n = 4
P = (n – 1)!
P = (4 – 1)!
P = 3 x 2 x 1
P = 6
Jadi, jumlah variasi tempat duduk yang bisa tercipta adalah 6.
Kombinasi
Contoh Soal 8
Sebuah maskapai pesawat baru memiliki 5 pesawat terbang. 2 dari 5 pesawat tersebut memiliki jadwal penerbangan ke Pulau Lombok.
Hitunglah berapa cara yang bisa tercipta untuk memilih pesawat dari maskapai tersebut!
Pembahasan:
C = ?
n = 4
r = 2
5C2 = 5! / (2! (5 – 2)!
5C2 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / ((2 x 1) (3 x 2 x1))
5C2 = ( 5 x 4) / ( 2 x 1)
5C2 = 20 / 2
5C2 = 10
Jadi, ada 10 cara yang bisa dilakukan untuk memilih pesawat untuk penerbangan ke Pulau Lombok.
Contoh Soal 9
Sebuah toko online menjual 10 jenis kue lebaran. Vivian berniat untuk membeli 5 toples. Dari 10 jenis kue lebaran tersebut, Vivian sudah menentukan ingin membeli 3 jenis saja.
Tentukan berapa banyak kombinasi kue lebaran yang bisa dibeli Vivian!
Pembahasan:
Fakta bahwa Viaian telah menentukan 3 jenis kue lebaran, maka tersisa 5 toples slot kue lebaran yang akan dipilih olehnya.
Selain itu, ada juga 7 pilihan jenis yang bisa menjadi pilihan Vivian. Dari keterangan tersebut, berikut ini cara pengerjaannya:
7C5 = 7! / (5! (7-5)!)
7C5 = ( 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (( 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ) ( 2 x 1 ))
7C5 = ( 7 x 6) / ( 2 x 1 )
7C5 = 42 / 2
7C5 = 21
Jadi, dari 5 toples kue lebaran yang dibeli oleh Vivian bisa ada 21 variasi.
15 Soal Peluang dan Pembahasanya
Nomor 1
Dilakukan percobaan dengan melemparkan dua dadu secara bersamaan. Hitunglah banyaknya kejadian muncunya mata dadu dengan jumlah kurang 11!
a. 20
b. 33
c. 3
d. 6
Jawaban :
Untuk menjawab soal diatas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
n(S) = 62 = 36
Jika A diartikan sebagai kejadian mata dadu yang muncul berjumlah lebih dari atau sama dengan 11 maka terdapat kemungkinan (5,6), (6,6), dan (6,5)
n(A) = 3
Jadi, banyaknya dadu berjumlah kurang dari 11 yang dilemparkan adalah 36-3 = 33
Nomor 2
Satu set kartu lengkap akan dikocok dan diambil secara acak. Hitunglah peluang yang terambil adalah kartu As atau kartu merah!
a. 28/52
b. 30/52
c. 10/52
d. 36/52
Jawaban :
Untuk menjawab soal diatas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Diketahui :
n(S) = 52
n(A) = peluang kejadian terambilnya kartu As = 4
PB = n(B)n(S) = 4/52 = 1/13
Jadi, peluang kejadian terambilnya kartu As atau kartu merah adalah :
PAB = PA+PB-PAB = 12+113-126 = 1426 = 28/52
Nomor 3
Kita mempunyai 10 kartu yang bernomor 1 sampai 10. Jika satu kartu diambil secara acak, maka peluang terambil adalah kartu bernomor bilangan prima adalah ....
a. 4/5
b. 3/5
c. 1/2
d. 3/10
Jawaban :
Untuk menjawab soal diatas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
nK = 5
nS = 10
maka PK = nK/nS = 5/10 = 1/2
Nomor 4
Berikut ini pernyataan-pernyataan yang memiliki nilai peluang satu, kecuali ....
a. Buaya bertelur
b. Bumi berbentuk bulat
c. Setiap siswa mendapat peringkat 1 di kelasnya
d. Bilangan genap habis dibagi dua
Jawaban :
Untuk menjawab soal diatas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Buaya bertelur = memiliki peluang satu
Bumi berbentuk bulat = memiliki peluang satu
Setiap siswa mendapat peringkat 1 di kelasnya = memiliki peluang lebih dari satu
Bilangan genap habis dibagi dua = memiliki peluang satu
Nomor 5
Tiga mata uang dilempar sekaligus sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan muncul dua sisi angka adalah ....
a. 20 kali
b. 25 kali
c. 30 kali
d. 40 kali
Jawaban :
Untuk menjawab soal diatas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Ruang sampel = {(A,A,A),(A,A,G),(A,G,A),(A,G,G),(G,A,A),(G,A,G),(G,G,A),(G,G,G)}
P(A) = 3/8
Fh = 3/8 x 80
= 30
Nomor 6
Di suatu daerah, peluang bayi terkena polio adalah 0,03 dan peluang terkena campak 0,05. Jika 1.500 bayi di daerah tersebut diperiksa, maka bayi yang terkena campak sebanyak .... anak.
a. 45
b. 60
c. 75
d. 100
Jawaban :
Untuk menjawab soal di atas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Peluang terkena campak = 0,05
= 5/100 x 1500
= 75
Nomor 7
Sebuah dadu dilempar 36 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu bilangan prima adalah .... kali.
a. 6
b. 18
c. 24
d. 36
Jawaban :
Untuk menjawab soal di atas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Ruang sampel = {1,2,3,4,5,6}
P(A) = 3/6
Fh = 3/6 x 36
= 18
Nomor 8
Sebuah dadu dilempar sekali. Peluang muncul mata faktor dari 6 adalah ....
a. 1/6
b. 1/2
c. 2/4
d. 2/3
Jawaban :
Untuk menjawab soal di atas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Ruang sampel = {1,2,3,4,5,6}
A = muncul mata dadu faktor 6
= (1,2,3,6)
P(A) = 4/6
Nomor 9
Banyaknya anggota ruang sampel pada pelemparan sekeping uang logam dan sebuah dadu yang dilakukan secara bersamaan adalah .... titik sampel.
a. 24
b. 20
c. 12
d. 18
Jawaban :
Untuk menjawab soal di atas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Ruang sampel = {(A,1),(A,2),(A,3),(A,4),(A,5),(A,6),(G,1),(G,2),(G,3),(G,4),(G,5),(G,6)}
Titik sampel = {(A,1),(A,2),(A,3),(A,4),(A,5),(A,6),(G,1),(G,2),(G,3),(G,4),(G,5),(G,6)}
= 12
Nomor 10
Sebuah dadu dilempar 100 kali. dari hasil pelemparan tersebut muncul mata dadu bernomor 3 sebanyak 17 kali dan mata dadu bernomor 5 sebanyak 18 kali. Peluang muncul mata dadu bernomor 3 dan 5 adalah ....
a. 7/20
b. 35/100
c. 35/6
d. 153/5000
Jawaban :
Untuk menjawab soal di atas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
A = mata dadu bernomor 3
P(A) = 17/100
B = mata dadu bernomor 5
P(B) = 18/100
P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
= 17/100 x 18/100
= 35/100
= 7/20
Nomor 11
Sebuah dadu dilempar sebanyak 20 kali. Ternyata muncul muka dadu bernomor 3 sebanyak 3 kali. Frekuensi relatif munculnya angka tiga adalah ....
a. 1/20
b. 3/20
c. 6/20
d. 20
Jawaban
Untuk menjawab soal di atas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Frekuensi relatif = banyaknya kejadian yang muncul/banyaknya percobaan yang dilakukan
= 3/20
Nomor 12
Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk memperoleh GAMBAR pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah…
a. 1/12
b. 1/6
c. 1/4
d. 1/3
Jawaban
Untuk menjawab soal di atas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Merupakan peluang saling bebas, maka:
P(gambar dan ganjil) = P(gambar) x P(ganjil) = 1/2 x 3/6 = 3/12 = 1/4
Catatan
P(gambar) = nK / nS = 1/2
P(ganjil) = nK / nS = 3/6
Nomor 13
Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah …
a. 5/36
b. 7/36
c. 8/36
d. 9/36
Jawaban
Untuk menjawab soal di atas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Merupakan peluang kejadian saling lepas:
P(9 atau 10) = P(9) + P(10) = 4/36 + 3/36 = 7/36
n(S) (2 dadu) = 36
n(K) (9) = (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) = 4
n(K) (10) = (4,6), (6,4), (5,5) = 3
Jadi:
P(9) = n(K) / n(S) = 4/36
P(10) = n(K) / n(S) = 3/36
Nomor 14
Peluang seorang siswa mengalami sakit flu pada musim penghujan adalah 0,4. Peluang seorang siswa tidak sakit flu pada musim penghujan adalah...
a. 0
b. 0,4
c. 0,6
d. 1
Jawaban
Untuk menjawab soal diatas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
P(tidak flu) = 1 – P(flu)
= 1 – 0,4
= 0,6
Nomor 15
Peluang turun hujan dalam bulan November adalah 0,4. Frekuensi harapan tidak turun hujan dalam bulan November adalah...
a. 18 hari
b. 10 hari
c. 9 hari
d. 7 hari
Jawaban
Untuk menjawab soal diatas, kamu bisa menggunakan cara seperti di bawah ini.
Peluang turun hujan = 0,4
Hari dalam bulan November = 30 hari
Peluang tidak turun hujan = 1 – 0,4 = 0,6
Frekuensi harapan tidak turun hujan = 0,6 x 30 hari = 18 hari