Ringkasan Materi : Program Linear dan Barisan Deret

1. Program Linear

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua.

Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.

Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000

Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

200x + 180y ≤ 72.000

150x + 170y ≤ 64.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.

Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.

Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :

Menggunakan garis selidik
Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim
Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0)

Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)

Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut.

Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Latihan Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

Langkah 1 menggambar grafiknya

Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

Lankah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar adalah:

A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.

B(3, 6)

C(8, 2)

D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

$B(3, 6) \longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42$

$C(8, 2) \longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42$

$D(8, 0) \longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32$

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan 3:

Dengan syarat:

Kapasitas tempat: x + y ≤ 400

Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 $5x + 2y \le 1.250$

x ≥ 0

y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel

C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang

$B(x_B, y_B)$ dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

Apel: 150 kg

Pisang: 250 kg

Contoh soal dan Pembahasan

Soal No. 1

Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah…

A. 14

B. 20

C. 23

D. 25

E. 35

Pembahasan

Langsung cari titik potongnya dulu:

2x + y = 7

x + y = 5

------------ −

x = 2

y = 3

Dapat titik A (2, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

Uji titik

f(x, y) = 4x + 5y

A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23

B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20

C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35

Terlihat nilai minimumnya adalah 20.

Soal No. 2

Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah....

A . 88

B. 94

C. 102

D. 106

E. 196

Pembahasan

Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:

Cara pertama dalam membuat persamaan garis

y − y1 = m (x − x1)

dengan

m = Δy/Δx

Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:

20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi

5x + 3y = 60

Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:

15x + 18y = 270 sederhanakan lagi

5x + 6y = 90

Titik potong kedua garis:

6y + 5x = 90

3y + 5x = 60

_________ -

3y = 30

y = 10

3(10) + 5x = 60

5x = 30

x = 6

Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y

Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0

Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84

Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90

Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102

Soal No. 3

Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....

A. Rp 176.000,00

B. Rp 200.000,00

C. Rp 260.000,00

D. Rp 300.000,00

E. Rp 340.000,00

Pembahasan

Membuat model matematika dari soal cerita di atas

Misal:

mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.

Luas parkir 1760 m2:

4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi

x + 5y ≤ 440.......(Garis I)

Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:

x + y ≤ 200 ..............(Garis II)

Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:

f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2

Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,

Garis 1

x + 5y = 440

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 5(0) = 440

x = 440

Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =0

0 + 5y = 440

y = 440/5 = 88

Dapat titik (0, 88)

Garis 2

x + y = 200

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 0 = 200

x = 200

Dapat titik (200, 0)

Titik potong sumbu y, x =0

0 + y = 200

y = 200

Dapat titik (0, 200)

Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2

Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.

x + 5y = 440

x + y = 200

____________ _

4y = 240

y = 60

x + y =200

x + 60 = 200

x = 140

Titik potong kedua garis aalah (140, 60)

Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.

x + 3y ≤ 18

2x + 2y ≤ 24

2. Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Misalkan seorang pedagang pada hari pertama jualan memperoleh untung sebesar Rp 10.000,-. Setiap harinya, untung yang diperoleh bertambah sebesar Rp 2000,-. Sehingga untung yang diperoleh pedagang tersebut dapat dituliskan dalam sebuah barisan artimetika berikut:

Rp 10.000, Rp 12.000, Rp 14.000, Rp 16.000, …

Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan yang memiliki beda atau selisih tetap antara dua suku yang berurutan.

Contoh Barisan Aritmetika:

image article

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:

Rumus untuk mencari beda pada barisan aritmetika:

Berbeda dengan barisan, deret merupakan hasil penjumlahan pada barisan aritmetika. Namun, deret tidak selalu menjumlahkan keseluruhan suku dalam suatu barisan. Rumus deret hanya menjumlahkan barisan aritmetikanya hanya sampai suku yang diperintahkan saja.

Contoh deret aritmetika:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …

24 + 20 + 16 + 12 + …

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika:

Contoh :

Diketahui sebuah barisan aritmetika 15, 19, 23, 27, 31, … .

a. Tentukan suku ke 25!

b. Tentukan 10 suku pertama!

Pembahasan :

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

$b = \frac{p-a}{q+1}$

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:
Nilai q = 3
Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
$b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2$
Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- $\frac{1}{2}(n+1)$ . Jika diselesaikan dalam rumus $U_n = a + (n - 1)b$ , maka nilai suku tengah didapatkan:

$U_n = a + (n - 1)b$
$U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = a + (\frac{1}{2}(n + 1) - 1)b$
$= a + (\frac{1}{2}n - \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n - 1)b$
$= \frac{2a+(n - 1)b}{2} = \frac{a + a(n - 1)b}{2}$
$U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = \frac{a + U_n}{2}$

Barisan dan Deret Geometri

Apakah kamu menyadari bahwa tinggi bola yang memantul semakin lama semakin rendah?

Nah, jika kita mendata tinggi pantulan bola, maka tingginya akan berurutan menjadi semakin rendah dengan rasio yang sama. Misalkan tinggi awal bola dijatuhkan adalah 4 meter, dan pantulan berikutnya adalah ½ dari tinggi sebelumnya, maka barisan geometri yang terbentuk, yaitu

Barisan geometri merupakan barisan bilangan dimana dua suku yang berurutan memiliki perbandingan yang sama. Perbandingan pada barisan geometri disebut sebagai rasio (r).

Contoh barisan geometri:

image article

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan geometri:

Rumus untuk mencari rasio pada barisan geometri:

Deret geometri merupakan hasil penjumlahan pada barisan geometri. Rumus deret hanya menjumlahkan suku-suku pada barisan geometri hanya sampai suku yang diperintahkan saja.

Contoh deret geometri:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …

200 + 100 + 50 + 25 + …

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri:

Contoh :

Diketahui sebuah barisan geometri berikut:

3, 12, 48, 192, …

a. Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri tersebut!

b. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri tersebut!

Pembahasan:

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar(q+1) = p

Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai:

$r = \sqrt[q + 1]{\frac{p}{a}}$

Deret Geometri Tak hingga

Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana $n \rightarrow \infty$ , maka deret ini dapat dijumlah menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \cdots$

Atau sebagai :

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots$

Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah:

$S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$

Dimana terdapat unsur $r^n$ didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika $n \rightarrow \infty$ , maka untuk menentukan nilai $r^n$ dapat menggunakan limit yaitu:

$lim_{n \rightarrow \infty} r^n$

dengan syarat -1 < r < 1.

Dan:

$lim_{n \rightarrow \infty} r^n = tak terbatas$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit $r^n$ tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:

$S = a \frac{(1 - lim_{n \rightarrow \infty} r^n)}{(1 -r)} = a \frac{1 - 0}{1 - r} = \infty$

dengan syarat -1 < r < 1

Dan:

$S = a \frac{(1 - lim_{n \rightarrow \infty} r^n}{(1 - r)} = a \frac{(1 - \infty)}{(1 - r)} = \infty$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika/Geometri dan Pembahasan

1. Contoh Soal Deret Aritmatika

Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $U_5 = 42$ , $U_8 = 15$ , maka dapat digunakan rumus :

$U_n = U_k + (n - k)b$

Dimana:

$U_8 = U_5 + (8 - 5)b$

$15 = 42 + (8 - 5)b$

$3b = -27$

$b = -9$

Sehingga:

$U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36$

$78 = a$

$U_{12} = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21$

Diperoleh:

$S_{12} = \frac{n}{2} (a + U_12) = \frac{12}{2} (78 + (-21)) = 6 \times 57 = 342$

2. Contoh Soal Deret Geometri

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan:

Diketahui bahwa:

$S_2 = 6$

$6 = a \frac{(1 - r^2)}{(1 -r)} = a \frac{(1 -r)(1 + r)}{(1 -r)} = a(1 + r)$

dan

$S_4 = 54$

$54 = a \frac{(1 - r^4)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r^2)(1 + r^2)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r)(1 + r)(1 + r^2)}{(1 - r)}$

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

Jika kedua persamaan disubstitusikan :

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

$54 = 6(1 + r^2)$

$9 = (1 + r^2)$

$r = \pm \sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$

Dan

$6 = a(1 + r) = a(1 + 2\sqrt{2})$

$a = \frac{6}{(1 + 2\sqrt{2})}$

Sehingga :

$S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} = (\frac{6}{1 + 2\sqrt{2}}) \frac{(1 - (2\sqrt{2})^6)}{(1 - 2\sqrt{2})}$

$S_n = \frac{6(1 - 8^3)}{1 - 8} = \frac{3066}{7}$

3. Contoh Soal Geometri Tak Hingga

Jika $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ maka jumlah deret geometri tak hingga $\frac{1}{p} + \frac{1}{pq} + \frac{1}{pq^2} + \frac{1}{pq^3} + \cdots$ adalah?

Pembahasan 3:

Diketahui bahwa:

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq}$ atau $p + q = pq$

Ditentukan ratio deretnya adalah:

$r = \frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = \frac{\frac{1}{pq}}{\frac{1}{p}} = \frac{1}{pq} \times \frac{p}{1} = \frac{1}{q}$

Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi $p + q = pq$ adalah:

$S = \frac{a}{(1 - r)} = \frac{\frac{1}{p}}{(1 - \frac{1}{q})} = \frac{\frac{1}{p}}{(\frac{q - 1}{q})} = \frac{1}{p} \times \frac{q}{q - 1} = \frac{q}{p(q - 1)}$

$S = \frac{q}{pq -p} = \frac{q}{(p + q) - p} = 1$

Contoh soal dan Pembahasan

Soal Nomor 1

Pak Hasani sedang membuat pagar tembok dari batu bata. Banyak batu bata di tiap lapisan membentuk barisan aritmetika. Jika banyak batu bata di lapisan paling atas adalah 10 buah dan 32 lapis yang sudah dipasang membutuhkan 1.312 batu bata, maka banyak batu bata pada lapisan paling bawah adalah ….

Pembahasan :

Diketahui banyak batu bata di tiap lapisannya membentuk barisan aritmetika, dengan:

banyak batu bata di lapisan paling atas = a = 10

banyak batu bata yang sudah dipasang = S32 = 1.312

banyak lapisan batu bata = n = 32

banyak batu bata pada lapisan paling bawah = U32

Tentukan U32 dengan mengganti nilai a = 10, S32 = 1.312 dan n = 32 ke rumus Sn sehingga,

Jadi, banyak batu bata di lapisan paling bawah adalah 72 buah.

Soal Nomor 2

Di sebuah toko bahan bangunan terdapat tumpukan batu bata. Banyak batu bata pada tumpukan paling atas adalah 12 buah dan selalu bertambah 2 buah pada tumpukan di bawahnya. Jika terdapat 40 tumpukan batu bata dari tumpukan bagian atas sampai bawah dan harga setiap batu bata adalah Rp600,00, maka besarnya biaya yang harus dikeluarkan untuk membeli seluruhnya adalah ....

Pembahasan :

Diketahui banyak batu bata di setiap tumpukan membentuk barisan aritmatika, dengan:

banyak batu bata pada tumpukan paling atas = a = 12

selisih banyak batu bata di setiap tumpukan = b = 2

banyak tumpukan batu bata = n = 40

harga batu bata = Rp600,00 perbuah

Mula-mula tentukan jumlah batu bata seluruhnya (S40).

Selanjutnya tentukan biaya yang harus dikeluarkan untuk membeli seluruh batu bata.

Total biaya = jumlah batu bata seluruhnya × harga per buah

= jumlah batu bata seluruhnya × harga per buah

= 2.040 × 600

= 1.224.000

Jadi, biaya yang harus dikeluarkan untuk membeli seluruh batu bata adalah Rp1.224.000,00.

Soal Nomor 3

Selvi naik taksi dari Kota A ke Kota B yang berjarak 9 kilometer. Besarnya argo taksi adalah Rp8.000,00 untuk 1 kilometer pertama, kemudian bertambah Rp700,00 tiap 100 meter selanjutnya. Besarnya ongkos taksi yang harus dibayar Selvi adalah ...

Pembahasan :

Diketahui argo taksi membentuk barisan aritmetika, dengan:

argo untuk 1 kilometer (km) pertama = a = 8.000

selisih argo setiap 100 meter berikutnya = b = 700

banyak pertambahan argo (dihitung per100 meter) = n

besar ongkos yang harus dibayar = Un

Mula-mula tentukan nilai n.

Oleh karena argo taksi pada 1 kilometer pertama berbeda dengan yang berikutnya dan 100 meter = 0,1 kilometer maka,

n = (9 – 1) : 0,1 = 8 : 0,1 = 80

Dengan demikian, n = 80.

Selanjutnya tentukan ongkos taksi yang harus dibayar.

Oleh karena n = 80, maka besar ongkos taksi yang harus dibayar U80 sehingga,

Jadi, besarnya ongkos taksi yang harus dibayar Selvi adalah Rp63.300,00

Soal Nomor 4

Santi memiliki beberapa potong pita yang membentuk barisan aritmetika. Panjang pita-pita tersebut masing-masing adalah 30 cm, 50 cm, 70 cm, … , 170 cm. Panjang pita Santi seluruhnya adalah ….

Pembahasan :

Diketahui barisan aritmetika 30, 50, 70, … , 170.

Perhatikan ilustrasi berikut.

Dari ilustrasi, tampak bahwa barisan aritmetika 30, 50, 70, … , 170 memiliki suku pertama a = 30 dan beda antar suku b = 20.

Menentukan panjang seluruh pita Santi sama dengan menentukan hasil jumlah deret aritmetika 30 + 50 + 70 + … + 170.

Mula-mula tentukan nilai n-nya, agar kita dapat menggunakan rumus

S_{n} = \frac{1}{2} n (a + U_{n})

untuk menentukan hasil jumlahannya.

Cara menentukan nilai n adalah sebagai berikut.

Ternyata, 170 adalah suku ke-8 (U8 = 170) atau n = 8.

Selanjutnya, tentukan hasil penjumlahan kedelapan suku (S8) dari 30 + 50 + 70 + … + 170 dengan mengganti a = 30,Un = 170 dan n = 8 ke rumus Sn .

Jadi, panjang pita Santi seluruhnya ada 800 cm.

Soal Nomor 5

Seutas kawat dipotong menjadi 5 bagian sehingga membentuk barisan aritmetika. Jika panjang kawat terpendek adalah 1,5 meter dan yang terpanjang 3,5 meter, maka panjang kawat mula-mula adalah ….

Pembahasan :

banyak potongan kawat = n = 5

panjang kawat terpedek = a = 1,5 meter

panjang kawat terpanjang = U5 = 3,5 meter

Panjang kawat mula-mula (Sn) adalah jumlah panjang seluruh potongan kawat (S5) yaitu sebagai berikut.

Jadi, panjang kawat mula-mula adalah 12,5 meter.

Soal Nomor 6

Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

Pembahasan :

Diketahui:

$U_{3} = 36 \rightarrow a + 2b = 36 \; \; \; (1)$

Dan

$U_{5} + U_{7} = 144$

$a + 4b + a + 6b = 144$

$2a + 10b = 144$

$a + 5b = 72 \; \; \; (2)$

Mencari nilai suku pertama (a) dan beda (b):

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2):

$a + 5b - (a + 2b) = 72 - 36$

$5b - 2b = 36$

$3b = 36 \; \rightarrow \; b = \frac{36}{3} = 12$

Substitusi nilai b = 12 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

$a + 2b = 36$

$a + 2 \cdot 12 = 36$

$a + 24 = 36$

$a = 36 - 24 = 12$

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah

$S_{n} = \frac{n}{2} \left( 2a + (n - 1)b \right)$

$S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2 \cdot 12 + 9 \cdot 12 \right)$

$= 5 \left( 24 + 108 \right)$

$= 5 \times 132$

$= 660$

Jawaban: B

Soal Nomor 7

Sebuah suku ke-5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku yang pertama deret tersebut adalah ….

A. 68

B. 72

C. 76

D. 80

E. 84

Pembahasan :

Diketahui:

$U_{5} = 11 \rightarrow a + 4b = 11 \; \; \; (1)$

Dan,

$U_{8} + U_{12} = 52$

$a + 7b + a + 11b = 52$

$2a + 18b = 52$

$a + 9b = 26 \; \; \; (2)$

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2) untuk medapatkan nilai b.

$a + 4b - (a + 9b) = 11 - 26$

$a + 4b - a - 9b = - 15$

$4b - 9b = - 15$

$- 5b = - 15$

$b = \frac{-15}{-5} = 3$

Substitusi nilai b = 3 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

$a + 4b = 11$

$a + 4 \cdot 3 = 11$

$a + 12 = 11$

$a = 11 - 12 = - 1$

Jadi, jumlah 8 suku yang pertama deret tersebut adalah

$S_{8} = \frac{8}{2} \left( 2a + (n - 1)b \right)$

$= 4 \left( 2 \cdot (- 1) + 7 \cdot 3 \right)$

$= 4 \left( - 2 + 21 \right)$

$= 4 \times 19$

$= 76$

Jawaban: C

Soal Nomor 8

Suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah 154. Jumlah suku kelima dan suku ketujuh adalah 290. Jumlah 10 suku pertama sama dengan ….

A. 3.470

B. 1.735

C. 1.465

D. 1.425

E. 1.375

Pembahasan :

Diketahui:

$U_{3} = 154$

$a + 2b = 154 \; \; \; \; (1)$

Dan

$U_{5} + U_{7} = 290$

$a + 4b + a + 6b = 290$

$2a + 10b = 290$

$a + 5b = 145 \; \; \; \; \; (2)$

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2) untuk mendapatkan nilai b. $a + 5b - (a + 2b) = 145 - 154$

$a + 5b - a - 2b = - 9$

$3b = - 9 \; \rightarrow \; b = \frac{-9}{3} = -3$

Substitusi nilai b = – 3 untuk mendapatkan nilai a:

$a + 5b = 145$

$a + 5 \cdot (-3) = 145$

$a - 15 = 145$

$a = 145 + 15 = 160$

Jadi, panjang tali semula adalah

$S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2 \cdot 160 + (10 - 1)(- 3) \right)$

$= 5 \left( 320 + 9(- 3) \right)$

$= 5 \left( 320 - 27 \right)$

$= 5 \times 293$

$= 1.465$

Jawaban: C

Soal Nomor 9

Suku ketiga suatu barisan aritmatika adalah 22. Jika jumlah suku ketujuh dan suku ke sepuluh adalah 0, maka jumlah lima suku pertama sama dengan ….

A. 30

B. 60

C. 85

D. 110

E. 220

Pembahasan :

Diketahui suku ketiga (U3) dan jumlah suku ketujuh (U7) dan suku kesepuluh (U10).

$U_{3} = 22$

$a + 2b = 22 \; \; \; \; (1)$

Dan

$U_{7} + U_{10} = 0$

$a + 6b = a + 9b = 0$

$2a + 15b = 0 \; \; \; \; (2)$

Eliminasi a dari dua kali persamaan (1) dan persamaan (2) untuk mendapatkan nilai b.

$2(a + 2b) - (2a + 15b) = 2 \cdot 22 - 0$

$2a + 4b - 2a - 15b = 44$

$- 11b = 44$

$b = - \frac{44}{11} = - 4$

Substitusi nilai b = – 4 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

$a + 2b = 22$

$a + 2 \cdot (-4) = 22$

$a - 8 = 22$

$a = 22 + 8 = 30$

Jadi, jumlah lima suku pertama sama dengan

$S_{5} = \frac{5}{2} \left( 2 \cdot 30 + (5 - 1)(- 4) \right)$

$= \frac{5}{2} \left( 60 + 4 \cdot (- 4) \right)$

$= \frac{5}{2} \left( 60 - 16 \right)$

$= \frac{5}{2} \times 44 = 110$

Jawaban: D

Soal Nomor 10

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi $\frac{3}{4}$ dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah ….

A. Rp20.000.000,00

B. Rp25.312.000,00

C. Rp33.750.000,00

D. Rp35.000.000,00

E. Rp45.000.000,00

Pembahasan :

Berdasarkan informasi dari soal cerita pada soal, dapat diperoleh informasi suku pertama (a) dan rasio (r).

$a = Rp80.000.000,00$

$r = \frac{3}{4}$

Setelah 3 tahun, nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah

$= 80.000.000 \times \left( \frac{3}{4} \right)^{3}$

$= 80.000.000 \times \left( \frac{27}{64} \right)$

$= 33.750.000$

Jawaban: C

Soal Nomor 11

Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah ….

A. 640 bakteri

B. 3.200 bakteri

C. 6.400 bakteri

D. 12.800 bakteri

E. 32.000 bakteri

Pembahasan :

Berdasarkan soal cerita pada soal dapat diperoleh informasi suku rasio (r) dan suku ketiga (U3).

$r = 2$

$U_{3} = 400$

Mencari nilai suku pertama (a):

$U_{3} = 400$

$ar^{2} = 400$

$a \times 2^{2} = 400$

$a \times 4 = 400$

$a = \frac{400}{4} = 100$

Suku ke pada menit ke 35:

$= \frac{35}{5}$

$= 7 \; \rightarrow \; U_{7}$

Jadi, banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama (U7) adalah

$U_{7} = a \times r^{6}$

$= 100 \times 2^{6}$

$= 100 \times 64$

$= 6.400$

Jawaban: C

Soal Nomor 12

Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian yang panjangnya masing-masing membentuk deret geometri. Apabila tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 384 cm, maka panjang tali semula adalah ….

A. 387 cm

B. 465 cm

C. 486 cm

D. 765 cm

E. 768 cm

Pembahasan :

Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a = U1) adan suku kedelapan (U8) adalah

$a = U_{1} = 3$

$U_{8} = 384$

Mencari rasio (r):

$U_{8} = 384$

$ar^{7} = 384$

$3 \cdot r^{7} = 384$

$r^{7} = \frac{384}{3}$

$r^{7} = 128 \rightarrow r = 2$

Jadi, maka panjang tali semula (S8)adalah

$S_{n} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$

$S_{8} = \frac{3(2^{8} - 1)}{2 - 1}$

$= \frac{3(256 - 1)}{2 - 1}$

$= \frac{3 \times 255}{1} = 765 \; \textrm{cm}$

Pembahasan: D

Soal Nomor 13

Setiap tahun harga jual tanah di sebuah komplek perumahan mengalami kenaikan 20% dari tahun sebelumnya, sedangkan harga jual bangunannya mengalami penurunan 5% dari tahun sebelumnya. Harga jual sebuah rumah (tanah dan bangunan) saat ini di komplek tersebut apabila 5 tahun yang lalu dibeli seharga 210 juta rupiah dan perbandingan harga jual tanah terhadap bangunan pada saat pertama kali membeli adalah 4 : 3 adalah … juta rupiah.

$\textrm{A.} \; \; \; 120 \left( \frac{6}{5} \right)^{4} + 90 \left( \frac{19}{10} \right)^{4}$