13 Soal Barisan dan Deret Serta Pembahasan

Pada kesempatan Admin akan memposting beberapa soal yang berkaitan dengan materi barisan dan deret. Soal-soal berkaitan dengan masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Soal Nomor 1

Pak Hasani sedang membuat pagar tembok dari batu bata. Banyak batu bata di tiap lapisan membentuk barisan aritmetika. Jika banyak batu bata di lapisan paling atas adalah 10 buah dan 32 lapis yang sudah dipasang membutuhkan 1.312 batu bata, maka banyak batu bata pada lapisan paling bawah adalah ….

Pembahasan :

Diketahui banyak batu bata di tiap lapisannya membentuk barisan aritmetika, dengan:

banyak batu bata di lapisan paling atas = a = 10

banyak batu bata yang sudah dipasang = S32 = 1.312

banyak lapisan batu bata = n = 32

banyak batu bata pada lapisan paling bawah = U32

Tentukan U32 dengan mengganti nilai a = 10, S32 = 1.312 dan n = 32 ke rumus Sn sehingga,

Jadi, banyak batu bata di lapisan paling bawah adalah 72 buah.

Soal Nomor 2

Di sebuah toko bahan bangunan terdapat tumpukan batu bata. Banyak batu bata pada tumpukan paling atas adalah 12 buah dan selalu bertambah 2 buah pada tumpukan di bawahnya. Jika terdapat 40 tumpukan batu bata dari tumpukan bagian atas sampai bawah dan harga setiap batu bata adalah Rp600,00, maka besarnya biaya yang harus dikeluarkan untuk membeli seluruhnya adalah ....

Pembahasan :

Diketahui banyak batu bata di setiap tumpukan membentuk barisan aritmatika, dengan:

banyak batu bata pada tumpukan paling atas = a = 12

selisih banyak batu bata di setiap tumpukan = b = 2

banyak tumpukan batu bata = n = 40

harga batu bata = Rp600,00 perbuah

Mula-mula tentukan jumlah batu bata seluruhnya (S40).

Selanjutnya tentukan biaya yang harus dikeluarkan untuk membeli seluruh batu bata.

Total biaya = jumlah batu bata seluruhnya × harga per buah

= jumlah batu bata seluruhnya × harga per buah

= 2.040 × 600

= 1.224.000

Jadi, biaya yang harus dikeluarkan untuk membeli seluruh batu bata adalah Rp1.224.000,00.

Soal Nomor 3

Selvi naik taksi dari Kota A ke Kota B yang berjarak 9 kilometer. Besarnya argo taksi adalah Rp8.000,00 untuk 1 kilometer pertama, kemudian bertambah Rp700,00 tiap 100 meter selanjutnya. Besarnya ongkos taksi yang harus dibayar Selvi adalah ...

Pembahasan :

Diketahui argo taksi membentuk barisan aritmetika, dengan:

argo untuk 1 kilometer (km) pertama = a = 8.000

selisih argo setiap 100 meter berikutnya = b = 700

banyak pertambahan argo (dihitung per100 meter) = n

besar ongkos yang harus dibayar = Un

Mula-mula tentukan nilai n.

Oleh karena argo taksi pada 1 kilometer pertama berbeda dengan yang berikutnya dan 100 meter = 0,1 kilometer maka,

n = (9 – 1) : 0,1 = 8 : 0,1 = 80

Dengan demikian, n = 80.

Selanjutnya tentukan ongkos taksi yang harus dibayar.

Oleh karena n = 80, maka besar ongkos taksi yang harus dibayar U80 sehingga,

Jadi, besarnya ongkos taksi yang harus dibayar Selvi adalah Rp63.300,00

Soal Nomor 4

Santi memiliki beberapa potong pita yang membentuk barisan aritmetika. Panjang pita-pita tersebut masing-masing adalah 30 cm, 50 cm, 70 cm, … , 170 cm. Panjang pita Santi seluruhnya adalah ….

Pembahasan :

Diketahui barisan aritmetika 30, 50, 70, … , 170.

Perhatikan ilustrasi berikut.

Dari ilustrasi, tampak bahwa barisan aritmetika 30, 50, 70, … , 170 memiliki suku pertama a = 30 dan beda antar suku b = 20.

Menentukan panjang seluruh pita Santi sama dengan menentukan hasil jumlah deret aritmetika 30 + 50 + 70 + … + 170.

Mula-mula tentukan nilai n-nya, agar kita dapat menggunakan rumus

S_{n} = \frac{1}{2} n (a + U_{n})

untuk menentukan hasil jumlahannya.

Cara menentukan nilai n adalah sebagai berikut.

Ternyata, 170 adalah suku ke-8 (U8 = 170) atau n = 8.

Selanjutnya, tentukan hasil penjumlahan kedelapan suku (S8) dari 30 + 50 + 70 + … + 170 dengan mengganti a = 30,Un = 170 dan n = 8 ke rumus Sn .

Jadi, panjang pita Santi seluruhnya ada 800 cm.

Soal Nomor 5

Seutas kawat dipotong menjadi 5 bagian sehingga membentuk barisan aritmetika. Jika panjang kawat terpendek adalah 1,5 meter dan yang terpanjang 3,5 meter, maka panjang kawat mula-mula adalah ….

Pembahasan :

banyak potongan kawat = n = 5

panjang kawat terpedek = a = 1,5 meter

panjang kawat terpanjang = U5 = 3,5 meter

Panjang kawat mula-mula (Sn) adalah jumlah panjang seluruh potongan kawat (S5) yaitu sebagai berikut.

Jadi, panjang kawat mula-mula adalah 12,5 meter.

Soal Nomor 6

Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

Pembahasan :

Diketahui:

$U_{3} = 36 \rightarrow a + 2b = 36 \; \; \; (1)$

Dan

$U_{5} + U_{7} = 144$

$a + 4b + a + 6b = 144$

$2a + 10b = 144$

$a + 5b = 72 \; \; \; (2)$

Mencari nilai suku pertama (a) dan beda (b):

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2):

$a + 5b - (a + 2b) = 72 - 36$

$5b - 2b = 36$

$3b = 36 \; \rightarrow \; b = \frac{36}{3} = 12$

Substitusi nilai b = 12 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

$a + 2b = 36$

$a + 2 \cdot 12 = 36$

$a + 24 = 36$

$a = 36 - 24 = 12$

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah

$S_{n} = \frac{n}{2} \left( 2a + (n - 1)b \right)$

$S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2 \cdot 12 + 9 \cdot 12 \right)$

$= 5 \left( 24 + 108 \right)$

$= 5 \times 132$

$= 660$

Jawaban: B

Soal Nomor 7

Sebuah suku ke-5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku yang pertama deret tersebut adalah ….

A. 68

B. 72

C. 76

D. 80

E. 84

Pembahasan :

Diketahui:

$U_{5} = 11 \rightarrow a + 4b = 11 \; \; \; (1)$

Dan,

$U_{8} + U_{12} = 52$

$a + 7b + a + 11b = 52$

$2a + 18b = 52$

$a + 9b = 26 \; \; \; (2)$

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2) untuk medapatkan nilai b.

$a + 4b - (a + 9b) = 11 - 26$

$a + 4b - a - 9b = - 15$

$4b - 9b = - 15$

$- 5b = - 15$

$b = \frac{-15}{-5} = 3$

Substitusi nilai b = 3 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

$a + 4b = 11$

$a + 4 \cdot 3 = 11$

$a + 12 = 11$

$a = 11 - 12 = - 1$

Jadi, jumlah 8 suku yang pertama deret tersebut adalah

$S_{8} = \frac{8}{2} \left( 2a + (n - 1)b \right)$

$= 4 \left( 2 \cdot (- 1) + 7 \cdot 3 \right)$

$= 4 \left( - 2 + 21 \right)$

$= 4 \times 19$

$= 76$

Jawaban: C

Soal Nomor 8

Suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah 154. Jumlah suku kelima dan suku ketujuh adalah 290. Jumlah 10 suku pertama sama dengan ….

A. 3.470

B. 1.735

C. 1.465

D. 1.425

E. 1.375

Pembahasan :

Diketahui:

$U_{3} = 154$

$a + 2b = 154 \; \; \; \; (1)$

Dan

$U_{5} + U_{7} = 290$

$a + 4b + a + 6b = 290$

$2a + 10b = 290$

$a + 5b = 145 \; \; \; \; \; (2)$

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2) untuk mendapatkan nilai b. $a + 5b - (a + 2b) = 145 - 154$

$a + 5b - a - 2b = - 9$

$3b = - 9 \; \rightarrow \; b = \frac{-9}{3} = -3$

Substitusi nilai b = – 3 untuk mendapatkan nilai a:

$a + 5b = 145$

$a + 5 \cdot (-3) = 145$

$a - 15 = 145$

$a = 145 + 15 = 160$

Jadi, panjang tali semula adalah

$S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2 \cdot 160 + (10 - 1)(- 3) \right)$

$= 5 \left( 320 + 9(- 3) \right)$

$= 5 \left( 320 - 27 \right)$

$= 5 \times 293$

$= 1.465$

Jawaban: C

Soal Nomor 9

Suku ketiga suatu barisan aritmatika adalah 22. Jika jumlah suku ketujuh dan suku ke sepuluh adalah 0, maka jumlah lima suku pertama sama dengan ….

A. 30

B. 60

C. 85

D. 110

E. 220

Pembahasan :

Diketahui suku ketiga (U3) dan jumlah suku ketujuh (U7) dan suku kesepuluh (U10).

$U_{3} = 22$

$a + 2b = 22 \; \; \; \; (1)$

Dan

$U_{7} + U_{10} = 0$

$a + 6b = a + 9b = 0$

$2a + 15b = 0 \; \; \; \; (2)$

Eliminasi a dari dua kali persamaan (1) dan persamaan (2) untuk mendapatkan nilai b.

$2(a + 2b) - (2a + 15b) = 2 \cdot 22 - 0$

$2a + 4b - 2a - 15b = 44$

$- 11b = 44$

$b = - \frac{44}{11} = - 4$

Substitusi nilai b = – 4 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

$a + 2b = 22$

$a + 2 \cdot (-4) = 22$

$a - 8 = 22$

$a = 22 + 8 = 30$

Jadi, jumlah lima suku pertama sama dengan

$S_{5} = \frac{5}{2} \left( 2 \cdot 30 + (5 - 1)(- 4) \right)$

$= \frac{5}{2} \left( 60 + 4 \cdot (- 4) \right)$

$= \frac{5}{2} \left( 60 - 16 \right)$

$= \frac{5}{2} \times 44 = 110$

Jawaban: D

Soal Nomor 10

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi $\frac{3}{4}$ dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah ….

A. Rp20.000.000,00

B. Rp25.312.000,00

C. Rp33.750.000,00

D. Rp35.000.000,00

E. Rp45.000.000,00

Pembahasan :

Berdasarkan informasi dari soal cerita pada soal, dapat diperoleh informasi suku pertama (a) dan rasio (r).

$a = Rp80.000.000,00$

$r = \frac{3}{4}$

Setelah 3 tahun, nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah

$= 80.000.000 \times \left( \frac{3}{4} \right)^{3}$

$= 80.000.000 \times \left( \frac{27}{64} \right)$

$= 33.750.000$

Jawaban: C

Soal Nomor 11

Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah ….

A. 640 bakteri

B. 3.200 bakteri

C. 6.400 bakteri

D. 12.800 bakteri

E. 32.000 bakteri

Pembahasan :

Berdasarkan soal cerita pada soal dapat diperoleh informasi suku rasio (r) dan suku ketiga (U3).

$r = 2$

$U_{3} = 400$

Mencari nilai suku pertama (a):

$U_{3} = 400$

$ar^{2} = 400$

$a \times 2^{2} = 400$

$a \times 4 = 400$

$a = \frac{400}{4} = 100$

Suku ke pada menit ke 35:

$= \frac{35}{5}$

$= 7 \; \rightarrow \; U_{7}$

Jadi, banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama (U7) adalah

$U_{7} = a \times r^{6}$

$= 100 \times 2^{6}$

$= 100 \times 64$

$= 6.400$

Jawaban: C

Soal Nomor 12

Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian yang panjangnya masing-masing membentuk deret geometri. Apabila tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 384 cm, maka panjang tali semula adalah ….

A. 387 cm

B. 465 cm

C. 486 cm

D. 765 cm

E. 768 cm

Pembahasan :

Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a = U1) adan suku kedelapan (U8) adalah

$a = U_{1} = 3$

$U_{8} = 384$

Mencari rasio (r):

$U_{8} = 384$

$ar^{7} = 384$

$3 \cdot r^{7} = 384$

$r^{7} = \frac{384}{3}$

$r^{7} = 128 \rightarrow r = 2$

Jadi, maka panjang tali semula (S8)adalah

$S_{n} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$

$S_{8} = \frac{3(2^{8} - 1)}{2 - 1}$

$= \frac{3(256 - 1)}{2 - 1}$

$= \frac{3 \times 255}{1} = 765 \; \textrm{cm}$

Pembahasan: D

Soal Nomor 13

Setiap tahun harga jual tanah di sebuah komplek perumahan mengalami kenaikan 20% dari tahun sebelumnya, sedangkan harga jual bangunannya mengalami penurunan 5% dari tahun sebelumnya. Harga jual sebuah rumah (tanah dan bangunan) saat ini di komplek tersebut apabila 5 tahun yang lalu dibeli seharga 210 juta rupiah dan perbandingan harga jual tanah terhadap bangunan pada saat pertama kali membeli adalah 4 : 3 adalah … juta rupiah.

$\textrm{A.} \; \; \; 120 \left( \frac{6}{5} \right)^{4} + 90 \left( \frac{19}{10} \right)^{4}$