Fungsi trigonometri adalah suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus menerus dalam periode tertentu. Seperti terlihat pada header di artikel ini, grafik fungsi trigonometri terdiri atas bukit dan lembah yang berulang-ulang secara terus menerus dalam periode tertentu.
Unsur-Unsur Grafik Fungsi Trigonometri
Pada fungsi trigonometri terdapat beberapa unsur, yakni periode, amplitudo, nilai maksimum, dan nilai minimum. Kita bahas satu per satu, ya.
a. Periode
Periode adalah jarak antara dua puncak atau dua lembah pada grafik fungsi trigonometri. Atau dapat diartikan juga sebagai jarak terjadinya grafik fungsi trigonometri tersebut berulang.
b. Amplitudo
Amplitudo adalah setengah dari selisih nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Rumus amplitudo yakni sebagai berikut:
c. Nilai Maksimum
Nilai maksimum adalah nilai tertinggi yang bisa dicapai oleh suatu fungsi trigonometri. Pada grafik, nilai maksimum merupakan titik puncak dari bukit.
d. Nilai Minimum
Nilai minimum adalah nilai terendah yang bisa dicapai oleh suatu fungsi trigonometri. Pada grafik, nilai minimum merupakan titik terendah dari lembah.
A. Pengertian Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang menghubungkan besar sudut dengan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Nilai fungsi trigonometri ini digunakan untuk menentukan besar sudut atau panjang sisi suatu segitiga.
Ada tiga bentuk dasar dari sebuah fungsi trigonometri yaitu fungsi sinus, fungsi cosinus dan fungsi tangen.
B. Menentukan Grafik Fungsi Trigonometri
Dalam menentukan grafik fungsi trigonometri dapat digunakan dua cara, yaitu dengan menggunakan tabel sudut-sudut istimewa trigonometri dan membuat lingkaran satuan. Nah, kali ini kita akan membahas cara menentukan grafik menggunakan lingkaran satuan.
Diketahui bahwa lingkaran satuan dengan jari-jari satu adalah lingkat yang berpusat di O(0,0) dengan jari-jari sebesar 1 satuan. Dengan menggunakan definisi di atas, maka diperoleh gambar di bawah ini:
Dari gambar di atas ini, dapat diketahui dengan menggunakan relasi, bahwa:
Fungsi 𝑓(𝜃) = 𝑆𝑖𝑛 𝜃, 𝑓(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 𝜃, 𝑓(𝜃) = 𝑇𝑎𝑛 𝜃 kita sebut sebagai fungsi trigonometri. Adapun nilai Sin, Cos dan Tangen suatu sudut dapat bernilai positif maupun bernilai negatif atau nol tergantung letak sudutnya berada di kudrannya.
Menentukan nilai fungsi trigonometri sama seperti kita menentukan nilai fungsi yang lainnya, yaitu dengan melakukan substitusi nilai variable yang diberikan kedalam fungsinya.
1. Grafik Fungsi Sinus
Untuk membuat grafik fungsi y = sin x, maka yang langkah-langkahnya adalah:
a. bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilai fungsi trigonometrinya.
b. buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.
c. buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut istimewa yang telah kita pelajari sebelumnya.
Perhatikan gambar berikut ini:
Berdasarkan yang kita peroleh diatas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = sin x dengan meletakkan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut:
Maka grafik fungsi trigonometri y = sin x untuk nilai 0^0≤ 𝑥 ≤ 2𝜋^0 diperoleh seperti pada grafik di atas.
Berdasarkan grafik di atas, maka dapat kita peroleh beberapa hal sebagai berikut:
a) untuk 𝑥 = 𝜋/2 maka y = 1 adalah nilai maksimum fungsi y = sin x
b) untuk 𝑥 = 3𝜋/2 maka y = -1 adalah nilai minimum fungsi y = sin x
c) grafik fungsi y = sin x memotong sumbu y pada x = 0^0, 𝜋 dan 2𝜋
d) grafik fungsi y = sin x mempunyai periode 2𝜋, yaitu besar sudut yang dibutuhkan untuk membentuk 1 gelombang fungsi y = sin x
2. Grafik Fungsi Cosinus
Untuk membuat grafik fungsi y = cos x, maka yang Langkah-langkahnya adalah:
a. bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilai fungsi trigonometrinya.
b. buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.
c. buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut istimewa yang telah kita pelajari sebelumnya.
Perhatikan gambar berikut ini:
Berdasarkan yang kita peroleh diatas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = cos x dengan meletakan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut:
Maka grafik fungsi trigonometri y = cos x untuk nilai 0^0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋^0 diperoleh seperti pada
grafik di atas.
Berdasarkan grafik di atas, maka dapat kita peroleh beberapa hal sebagai berikut:
a) untuk 𝑥 = 0 maka y = 1 adalah nilai maksimum fungsi y = cos x
b) untuk 𝑥 = 𝜋 maka y = -1 adalah nilai minimum fungsi y = cos x
c) untuk 𝑥 = 3600 maka y = 1 adalah nilai maksimum fungsi y = cos x
d) grafik fungsi y = cos x memotong sumbu-y pada x = 𝜋/2 dan 𝑥 = 3𝜋/2
e) grafik fungsi y = cos x mempunyai periode 2𝜋, yaitu besar sudut yang dibutuhkan untuk membentuk 1 gelombang fungsi y = cos x
Kesimpulan dari a) sampai dengan d) dapat disimpulkan pada gambar dibawah ini:
3. Grafik Fungsi Tangen
Untuk membuat grafik fungsi y = tan x, maka yang Langkah-langkahnya adalah:
a. bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilai fungsi trigonometrinya.
b. buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.
c. buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut istimewa yang telah kita pelajari sebelumnya.
Berdasarkan yang kita peroleh di atas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = tan x dengan meletakan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut:
Maka grafik fungsi trigonometri y = tan x untuk nilai 0^0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋^0 diperoleh seperti pada grafik di atas.
Berdasarkan grafik di atas, maka dapat kita peroleh beberapa hal sebagai berikut:
a) grafik fungsi y = tan x memotong sumbu-y pada x = 00, x = 𝜋 dan 𝑥 = 2𝜋
b) grafik fungsi y = tan x tidak mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum.
c) Grafik fungsi y = tan x tidak mempunyai nilai untuk x = 𝜋/2 dan x = 3𝜋/2
d) grafik fungsi y = tan x mempunyai periode 𝜋, yaitu besar sudut yang dibutuhkan untuk membentuk 1 gelombang fungsi y = tan x
Kesimpulan dari a) sampai dengan d) dapat disimpulkan pada gambar dibawah ini:
Contoh Soal
1. Gambarlah grafik dari y = 2 Sin 2x!
Jawab:
Langkah-langkah untuk menggambar grafik y = 2 Sin 2x adalah:
a. Pertama gambarlah dahulu grafik y = sin x dan y = Sin 2x sebagai dasar
b. Nilai maksimum y = sin x adalah 1, maka nilai maksimum y = 2 sin x = 2 (1) = 2. Dan juga nilai minimum y = sin x adalah -1, maka nilai minimum y = 2 sin x = 2 (-1) = -2.
c. Peroide grafik fungsi y = 2 Sin 2x sama dengan periode fungsi y = Sin 2x, karena sudutnya sama. Maka periodenya sama dengan 360/2 = 180
d. Perhatikan kembali grafik y = sin x, dengan periode sejauh 3600, memotong sumbu-x di titik x = 0, 180, 360. Maka grafik y = Sin 2x dengan periode sejauh 180, memotong sumbu-x di titik x = 0, 90, 180.
e. Grafik y = sin x mencapai maksimum di x = 900 dengan nilai ymax = 2 dan mencapai minimum di x = 270 dengan nilai ymin = -2.
f. Berdasarkan informasi di atas, maka diperoleh grafik y = 2 Sin 2x sebagai berikut:
