Turunan Pertama Fungsi dengan Nilai Maksimum dan Minimum

 

Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar

Suatu fungsi akan dapat diturunkan pada suatu titik jika memenuhi sifat-sifat berikut ini. Jika fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan x ϵ S dan L ϵ R, maka fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis,

Aturan Turunan :

Jika f , u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:

Konsep Kemonotonan Fungsi

Sutau fungsi dikatakan monoton jika fungsi tersebut naik terus atau turun terus pada suatu selang atau interval. Jika fungsi f : S → R, S ⊆ R , maka

• Fungsi f dikatakan naik jika ⩝ x₁ , x₂ ϵ S, x₁ < x_{2 →} f(x₁) < f(x₂)
• Fungsi f dikatakan turun jika ⩝ x₁ , x₂ ϵ S, x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂)

 

Jika f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ϵ I, maka

• Jika f ‘(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.
• Jika f ‘(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.
• Jika f ‘(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.
• Jika f ‘(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.

Nilai Maksimum dan Minimum

Nilai suatu fungsi dapat dikategorikan maksimum jika nilai suatu fungsi tersebut memiliki nilai paling besar, sementara nilai suatu fungsi dikategorikan minimum jika memiliki nilai yang paling kecil pada selang atau interval tertentu. Jika f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x₁ ϵ I sehingga:

• Jika f ‘(x₁) = 0 maka titik (x₁ , f(x₁)) disebut stasioner/kritis
• Jika f ‘(x₁) = 0 dan f “(x₁) > 0 maka titik (x₁ , f(x₁)) disebut titik minimum fungsi
• Jika f ‘(x₁) = 0 dan f “(x₁) < 0 maka titik (x₁ , f(x₁)) disebut titik maksimum fungsi
• Jika f “(x₁) = 0 maka titik (x₁ , f(x₁)) disebut titik belok.

Nilai Maksimum dan Minimum pada Interval

Daerah asal (domain) fungsi pada (B, C dan D) telah dibatasi sehingga keoptimalan fungsi harus dianalisis apakah berada pada daerah tersebut. Dengan demikian, gambar A adalah posisi titik maksimum / minimum lokal sebuah fungsi dan ketiga gambar lainnya adalah posisi titik maksimum atau minimum global / lokal sebuah fungsi pada daerah tertutup. Nilai maksimum dan minimum fungsi tidak hanya bergantung pada titik stasioner fungsi tersebut tetapi bergantung juga pada daerah asal fungsi.

Konsep turunan yang berkaitan dengan fungsi naik atau turun, nilai optimal maksimum atau minimum serta titik belok berhubungan dengan kecepatan dan percepatan suatu fungsi.

Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu:

Penerapan Turunan Fungsi Aljabar pada Kehidupan

Beberapa penerapan turunan fungsi aljabar pada kehidupan adalah sebagai berikut ini :

• Menghitung gradien garis singgung suatu kurva misalnya pada pergerakan pesawat terbang saat aan terbang atau mendarat.
• Menetukan interval ketika fungsi naik atau turun, misalnya pada penentuan kapasitas produksi suatu pabrik bergantung dari fungsi kebutuhan produk masyarakat.
• Menentukan nilai stasioner misalnya penentuan ketinggian ketika melompat dari trampolin sehingga dapat ditentukan tinggi jaring pengaman yang akan dibuat.
• Menyelesaikan persamaan gerak misalnya penentuan ketinggian atau jarak tempuh benda yang bergerak seperti bola atau pergerakanan permaian roller coaster.
• Menentukan penentuan nilai maksimum – minimum misalnya pada perhitungan luas dan volume ruang.

Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar

Untuk lebih memahami turunan fungsi aljabar, mari kita lihat contoh soal dan pembahasan turuna fungsi alajabar berikut ini.

1. Tunjukkan grafk fungsi f(x) = x² + 5, x ϵ R dan x > 0 adalah fungsi naik.

Pembahasan:

f(x) = x² + 5, x ϵ R dan x > 0

Ambil sebarang x₁ , x₂ ϵ R dengan 0 < x₁ < x₂

x = x₁ → f(x₁) = x₁² + 5

x = x₂ → f(x₂) = x₂² + 5

Karena 0 < x₁ < x₂ maka x₁² + 5 < x₂ ² + 5

Karena x₁² + 5 < x₂ ² + 5, maka f(x₁) < f(x₂)

Jadi ⩝x ϵ S, x₁ < x₂ à f(x₁) < f(x₂) dapat disimpulkan bahwa f adalah fungsi naik.

2. Tentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi f(x) = 0,75x⁴ + x³ – 3x²

Pembahasan:

f(x) = 0,75x⁴ + x³ – 3x²

(Rubah dahulu koefisien x⁴ dari bilangan desimal ke pecahan)

f(x) = 3/4x⁴ + x³ – 3x²

Pembuat nol dari f ‘(x) :

f ‘(x) = 3x³ + 3x² – 6x

3x³ + 3x² – 6x = 0

3x (x² + x -2) = 0

3x (x + 2) (x – 1) = 0

x = 0 atau x = -2 atau x = 1

Dengan menggunakan interval.

Sumber: Dokumentasi penulis

Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval –2 < x < 0, atau x > 1 tetapi turun pada interval x < –2 atau 0 < x < 1.

 

3. Dengan menggunakan konsep turunan, analisis kurva fungsi f(x) = x² – 6x !

Pembahasan:

a. Menentukan titik stasioner (f ‘(x) = 0)

f ‘(x) = 2x – 6 = 0 atau x = 3

Titik stasioner P (3, –9)

b. Menentukan interval fungsi naik/turun

Fungsi naik pada (f ‘(x) > 0)

f ‘(x) = 2x – 6 > 0 atau x > 3

Fungsi turun pada (f ‘(x) < 0)

f ‘(x) = 2x – 6 < 0 atau x < 3

c. Menentukan titik belok (f “(x) = 0)

f “(x) = 2 ≠ 0

Tidak ada titik belok

d. Menentukan titik optimum

Uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi

f “(x) = 2 > 0 disebut titik minimum di P (3, –9).

Jadi dengan menggunakan konsep turunan, hasil analisis kurva fungsi f(x) = x² – 6x adalah titik stasioner di P (3, –9), fungsi naik di x > 3, fungsi turun x < 3, tidak ada titik belok, dan titik minimum di P (3, –9).