Menentukan persamaan lingkaran

Persamaan Lingkaran

Terdapat berbagai macam persamaannya, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari – jarinya.

1. Rumus persamaan lingkaran dengan titik pusat (0,0)

Jika kita memiliki lingkaran yang memiliki titik pusat (0, 0) dan memiliki jari-jari r digambarkan di bawah ini

Untuk persamaan lingkaran seperti gambar di atas, kita dapatkan :

x² + y² = r²

2. Rumus persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b)

Berikut ini adalah lingkaran yang memiliki titik pusat (a, b) serta memiliki jari-jari r seperti gambar di bawah ini :

Jadi persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (a,b) adalah :

(x - a)² + (y - b)² = r²

Bentuk persamaan lingkaran di atas dapat kita jabarkan :

⇔ (x - a)² + (y - b)² = r²

⇔ x² – 2ax + a² + y² – 2bx + b² = r²

⇔ x² + y²– 2ax – 2bx + a² + b² - r² = 0

Bentuk persamaan lingkaran dari :

x² + y²– 2ax – 2bx + a² + b² - r² = 0

dapat ditulis menjadi :

x² + y² + Ax + Bx + C = 0

dimana:

A = −2a

B = −2b

C = a² + b² − r²

Dengan demikian, apabila terdapat persaman lingkaran dengan bentuk :

x² + y² + Ax + Bx + C = 0

Maka, cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran:

P = (-

12

A, -

12

B)

r = √(-

12

A)² + (-

12

B)² - C

Keterangan :

• P adalah titik pusat lingkaran
• r adalah jari-jari lingkaran
• A = −2a
• B = −2b
• C = a² + b² − r²

Contoh Soal Persamaan Lingkaran

Soal No.1

---

Sebuah lingkaran yang memiliki titik pusat P(0,0) dengan jari-jari 6, maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....

A. x² + y² = 36

B. x² + y² = 6

C. (x - 6)² + (y - 6)² = 36

D. x² + y² - 36 = 36

Pembahasan

Untuk persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (0,0), maka digunakan rumus :

⇔ x² + y² = r²

⇔ x² + y² = 6²

⇔ x² + y² = 36

Jawab : A

Soal No.2

---

Perhatikan gambar di bawah ini :

Dari gambar di atas, berapakah kordinat titik pusat serta nilai jari-jarinya ?

A. Titik Pusat (0,0) dan jari-jari adalah 10

B. Titik Pusat (0,0) dan jari-jari adalah 5

C. Titik Pusat (5,5) dan jari-jari adalah 5

D. Titik Pusat (0,0) dan jari-jari adalah 20

Pembahasan

Titik pusat lingkaran yaitu titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.

Jari-jari lingkaran adalah garis lurus yang menghubungkan titik pusat lingkaran ke titik pada garis lengkung lingkaran. Jari-jari juga merupakan jarak antara titik pusat terhadapa setiap titik pada garis lengkung lingkaran.

Dengan demikian,dari gambar tampak jelas :

Titik Pusat (0,0) dan jari-jari adalah 5

Jawab : B

Soal No.3

---

Jika kita memiliki persamaan lingkaran x² + y² = 144. Maka panjang diameter lingkaran tersebut adalah .....?

A. 12

B. 14

C. 24

D. 144

Pembahasan

Persamaan lingkaran : x² + y² = 144 merupakan bentuk persamaan dari x² + y² = r²

Dengan demikian, dapat kita ketahui :

r² = 144

r = √144 = 12

Diameter = 2 x jari-jari

Diameter = 2 x 12

Jawab : C

Soal No.4

---

Sebuah lingkaran yang memiliki titik pusat (0,0) dan jari-jari 7 memili persamaan lingkaran.....

A. x² + y² = 49

B. x² + y² = 144

C. x² + y² = 7

D. x² + y² = 77

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (0, 0) dan jari-jari r adalah :

⇔ x² + y² = r²

⇔ x² + y² = 7²

⇔ x² + y² = 49

Jawab : A

Soal No.5

---

Sebuah lingkaran yang memiliki titik pusat (-4, -9) dan berjari-jari 5 memiliki persamaan lingkaran ?

A. x² + y² + 8x + 18y + 72 = 0

B. x² + y² + 18x + 18y + 72 = 0

C. x² + y² + 18x + 18y + 18 = 0

D. x² + y² + 8x + 18y + 18 = 0

Pembahasan

⇔ (x - a)² + (y - b)² = r²

⇔ (x – (-4))² + (y – (-9))² = 5²

⇔ (x + 4)² + (y + 9)² = 5²

⇔ x² + 8x + 16 + y² + 18y + 81 = 25

⇔ x² + y² + 8x + 18y + 16 + 81 – 25 = 0

⇔ x² + y² + 8x + 18y + 72 = 0

Jawab : A

Soal No.6

---

Sebuah lingkaran yang memiliki titik pusat (3, -5) dan berjari-jari 2 memiliki persamaan lingkaran ?

A. x² + y² - 6x + 10y + 29 = 0

B. x² + y² - 16x + 10y + 29 = 0

C. x² + y² - 6x + 16y + 29 = 0

D. x² + y² + 18x + 18y + 29 = 0

Pembahasan

⇔ (x - a)² + (y - b)² = r²

⇔ (x – 3)² + (y – (-5))² = 22

⇔ (x – 3)² + (y + 5)² = 22

⇔ x² – 6x + 9 + y2 + 10y + 24 = 4

⇔ x² + y² – 6x + 10y + 9 + 24 – 4 = 0

⇔ x² + y² – 6x + 10y + 29 = 0

Jawab : A

Soal No.7

---

Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...

A. Titik pusat (−2, 3) dan jari-jari 5

B. Titik pusat (2, −3) dan jari-jari 5

C. Titik pusat (−3, 2) dan jari-jari 6

D. Titik pusat (3, −2) dan jari-jari 6

Pembahasan

Dari persamaan lingkaran : x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0, kita dapatkan

A = 4

B = −6

C = −12

Titik Pusat lingkaran (P) adalah :

⇔ P = (-

12

A, -

12

B)

⇔ P = (-

12

(4), -

12

(-6))

⇔ P = (-2, 3)

Jari-jari lingkaran adalah :

⇔ r = √(-

12

A)² + (-

12

B)² - C

⇔ r = √(-

12

(4))² + (-

12

(-6))² - (-12)

⇔ r = √4 + 9 + 12 = 3

⇔ r = √25 = 5

Sehingga titik pusat (-2, 3) dan jari-jarinya adalah 5

Jawab : A

Soal No.8

---

Sebuah lingkaran yang yang berpusat di (2,3) dan jari-jari 5, maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....

A. (x + 12)² + (y – 13)² = 5²

B. (x + 2)² + (y + 3)² = 5²

C. (x – 2)² + (y – 3)² = 5²

D. (x + 2)² + (y – 3)² = 5²

Pembahasan

⇔ (x - a)² + (y - b)² = r²

⇔ (x – 2)² + (y – 3)² = 5²

Jawab : C

Soal No.9

---

Titik pusat dan jari-jari lingkaran pada persamaan lingkaran (x–3)² + (y–7)² = 64 adalah... A. Titik pusat (6,4) dan jari-jari 6

B. Titik pusat (3,7) dan jari-jari 8

C. Titik pusat (3,4) dan jari-jari 8

D. Titik pusat (4,4) dan jari-jari 7

Pembahasan

Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (x - a)² + (y - b)² = r²

Dari persamaan lingkaran : (x–3)² + (y–7)² = 64

maka a = 3 , b = 7, dan r² = 64

Jadi lingkaran (x–3)² + (y–7)² = 64 memiliki titik pusat di (3,7) dan jari-jari 8.

Jawab : B

Soal No.10

---

Jika terdapat suatu persamaan lingkaran :

x² + y² −4x + 2y − 4 = 0.

Dan titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukanlah apakah posisi titik tersebut berada di dalam lingkaran, di luar lingkaran ataupun pada lingkaran ?

Pembahasan

Titik A (2, 1)

, maka x = 2 dan y = 1

Masukkan nilai x =2 dan y = 1 pada persamaan lingkaran

x² + y² −4x + 2y − 4 = 0

⇔(2)² + (1)² −4(2) + 2(1) − 4

⇔ 4 + 1 − 8 + 2 − 4

⇔ −5

Jika :

• Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran.
• Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran.
• Hasil = 0, titik berada pada lingkaran.

Karena Hasilnya < 0, maka titik A ada di dalam lingkaran.