Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan$$\left|x\right|=\{\begin{array}{c}-xjikax\ge 0\\ -xjikax<0\end{array}$$atau dapat pula ditulis

| x | = -x    jika x ≥ 0
| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7      | 0 | = 0      | -4 | = -(-4) = 4
Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

 

 

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a
c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a

Note :

Apabila kedua ruas memuat tanda mutlak, sifat a masih dapat digunakan, namun sifat b dan c sudah tidak dapat digunakan.

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x – 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x – 7| = 3  ⇔  2x – 7 = 3  atau  2x – 7 = -3
|2x – 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x – 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.

Contoh 2
Tentukan HP dari |2x – 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x – 1| = |x + 4|

⇔  2x – 1 = x + 4  atau  2x – 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x – 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x – 1| < 7  ⇔  -7 < 2x – 1 < 7
|2x – 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x – 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.

Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.

Contoh 5 (EDIT)
Tentukan penyelesaian dari |3x – 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :
Pertaksamaan yang kedua ruasnya memuat tanda mutlak dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas atau dengan menggunakan sifat :
|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a – b) ≥ 0

Berdasarkan sifat diatas,
|3x – 2| ≥ |2x + 7|
⇔ ((3x – 2) + (2x + 7)) ((3x – 2) – (2x + 7) ≥ 0
⇔ (5x + 5) (x – 9) ≥ 0

Pembuat nol :
x = -1 atau x = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}

Contoh 6
Tentukan HP dari 2 < |x – 1| < 4

Jawab :
Ingat : a < x < b  ⇔  x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x – 1| < 4 ekuivalen dengan
|x – 1| > 2  dan  |x – 1| < 4

Berdasarkan sifat c :
|x – 1| > 2  ⇔  x – 1 < -2  atau  x – 1 > 2
|x – 1| > 2  ⇔  x < -1  atau  x > 3   …………….(1)

Berdasarkan sifat b :
|x – 1| < 4  ⇔  -4 < x – 1 < 4
|x – 1| < 4  ⇔  -3 < x < 5   ……………………….(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut

Jadi, HP = {-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}

Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi

|ax + b| = ax + b       jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b)   jika x < -b/a

Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.

Contoh 7
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a.  |4x – 3|
b.  |2x + 8|

Jawab :
a.  Untuk |4x – 3|
|4x – 3| = 4x – 3       jika  x ≥ 3/4
|4x – 3| = -(4x – 3)   jika  x < 3/4

b.  Untuk  |2x + 8|
|2x + 8| = 2x + 8       jika  x ≥ -4
|2x + 8| = -(2x + 8)   jika  x < -4

Contoh 8
Nilai x yang memenuhi persamaan |x – 2| = 2x + 1 adalah…

Jawab :
|x – 2| = x – 2       jika  x ≥ 2
|x – 2| = -(x – 2)   jika  x < 2

Untuk x ≥ 2
|x – 2| = 2x + 1  ⇔  x – 2 = 2x + 1
|x – 2| = 2x + 1  ⇔  -x = 3
|x – 2| = 2x + 1  ⇔  x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk x < 2
|x – 2| = 2x + 1  ⇔  -(x – 2) = 2x + 1
|x – 2| = 2x + 1  ⇔  -x + 2 = 2x + 1
|x – 2| = 2x + 1  ⇔  -3x = -1
|x – 2| = 2x + 1  ⇔  x = 1/3
Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.

Contoh 9
Tentukan HP dari |x + 1| > 2x – 4

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

Untuk x ≥ -1
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  x + 1 > 2x – 4
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  -x > -5
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  x < 5
Irisan dari x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5

Untuk x < -1
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  -(x + 1) > 2x – 4
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  -x – 1 > 2x – 4
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  -3x > -3
|x + 1| > 2x – 4  ⇔  x < 1
Irisan dari x < -1 dan x < 1 adalah x < -1

Jadi, HP = {x < -1  atau  -1 ≤ x < 5}
Jadi, HP = {x < 5}

Contoh 10
Nyatakan |x – 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak

Jawab :
|x – 4| = x – 4 jika x ≥ 4
|x – 4| = -(x – 4) jika x < 4

|2x + 6| = 2x + 6 jika x ≥ -3
|2x + 6| = -(2x + 6) jika x < -3

Jika interval-interval diatas digambarkan pada garis bilangan akan diperoleh

Untuk x < -3
|x – 4| + |2x + 6| = -(x – 4) – (2x + 6)
|x – 4| + |2x + 6| = -x + 4 – 2x – 6
|x – 4| + |2x + 6| = -3x – 2

Untuk -3 ≤ x < 4
|x – 4| + |2x + 6| = -(x – 4) + (2x + 6)
|x – 4| + |2x + 6| = -x + 4 + 2x + 6
|x – 4| + |2x + 6| = x + 10

Untuk x ≥ 4
|x – 4| + |2x + 6| = (x – 4) + (2x + 6)
|x – 4| + |2x + 6| = x – 4 + 2x + 6
|x – 4| + |2x + 6| = 3x + 2

Dari uraian diatas, kita simpulkan

$|x-4|+|2x+6|=\{\begin{array}{c}-3x-2jikax<-3\\ -x+10jika-3\le x<4\\ -3x+2jikax\ge 4\end{array}$

Contoh 11
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan
|x + 1| + |2x – 4| = 9

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

|2x – 4| = 2x – 4       jika  x ≥ 2
|2x – 4| = -(2x – 4)   jika  x < 2

Untuk x < -1
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  -(x + 1) – (2x – 4) = 9
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  -x – 1 – 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  -3x = 6
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  x = -2
karena x < -1, maka x = -2 memenuhi.

Untuk -1 ≤ x < 2
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  (x + 1) – (2x – 4) = 9
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  x + 1 – 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  -x = 4
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  x = -4
karena -1 ≤ x < 2, maka x = -4 tidak memenuhi.

Untuk x ≥ 2 
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  (x + 1) + (2x – 4) = 9
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  x + 1 + 2x – 4 = 9
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  3x = 12
|x + 1| + |2x – 4| = 9  ⇔  x = 4
karena x ≥ 2, maka x = 4 memenuhi.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = -2  atau  x = 4.

Contoh 12
Tentukan HP dari |x – 1| + |x + 2| ≥ 4

Jawab :
|x – 1| = x – 1       jika  x ≥ 1
|x – 1| = -(x – 1)   jika  x < 1

|x + 2| = x + 2       jika  x ≥ -2
|x + 2| = -(x + 2)   jika  x < -2

Untuk x < -2
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -(x – 1) – (x + 2) ≥ 4
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -x + 1 – x – 2  ≥ 4
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -2x ≥ 5
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  x ≤ -5/2
Irisan dari x < -2 dan x ≤ -5/2 adalah x ≤ -5/2

Untuk -2 ≤ x < 1
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -(x – 1) + (x + 2) ≥ 4
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -x + 1 + x + 2 ≥ 4
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  3 ≥ 4  (bukan penyelesaian)

Untuk x ≥ 1
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  (x – 1) + (x + 2) ≥ 4
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  2x ≥ 3
|x – 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  x ≥ 3/2
Irisan dari x ≥ 1 dan x ≥ 3/2 adalah x ≥ 3/2

Jadi, HP = {x ≤ -5/2  atau  x ≥ 3/2}

Contoh 13
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, tunjukkan bahwa untuk setiap x bilangan real dengan a > 0 berlaku | x | < a  ⇔  -a < x < a.

Jawab :
Untuk x ≥ 0 maka | x | = x, akibatnya
| x | < a  ⇔  x < a
Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah
0 ≤ x < a

Jadi, untuk x ≥ 0 dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  0 ≤ x < a   ……………………………(1)

Untuk x < 0 maka | x | = -x, akibatnya
| x | < a  ⇔  -x < a
| x | < a  ⇔  x > -a
Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah
-a < x < 0

Jadi, untuk x < 0 dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  -a < x < 0   …………………………..(2)

Dari (1) dan (2) kita simpulkan
Untuk setiap x bilangan real dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  -a < x < 0  atau  0 ≤ x < a
| x | < a  ⇔  -a < x < a