Kaidah Pencacahan: Materi, Faktorial, Permutasi, Kombinasi

byrumahijoe -

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat:

  • Menjelaskan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi
  • Menentukan banyaknya cara meyelesaikan masalah dengan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi
  • Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi

Definisi Kaidah pencacahan


Kaidah pencacahan atau dalam bahasa inggris disebut sebagai (Counting Rules) merupakan sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Terdapat beberapa metode dalam kaidah pencacahan, diantaranya: Aturan Pengisian Tempat, Permutasi, dan Kombinasi.

Aturan Pengisian Tempat

Sebagai contoh ada suatu kasus di bawah ini:

Gilang memiliki 3 kaos dengan warna putih, merah dan biru dan juga memiliki 2 celana panjang yang berwarna hitam dan cokelat. Tentukan beberapa kemungkinan Gilang akan menggunakan kaos dan juga celana panjang!

Penyelesaian:

Ada 3 cara untuk menentukan berbagai kemungkinan Gilang menggunakan kaos dan celana panjang.


c. Himpunan pasangan terurut

{(Putih, Hitam), (Putih, Cokelat), (Merah, Hitam), (Merah, Cokelat), (Biru, Hitam), (Biru, Cokelat)}

Dari ketiga metode atau cara di atas, bisa kita simpulkan bahwa banyaknya cara Gilang memakai kaos dan juga celana panjang ada sebanyak 6 cara = 3 × 2 = banyak cara menggunakan kaos × banyak cara menggunakan celana
panjang.

Aturan Perkalian

Apabila sebuah kejadian bisa berlangsung dalam n tahap yang saling berurutan di mana tahap 1 bisa berlangsung dalam q1 cara, tahap 2 bisa berlangsung dalam q2 cara, tahap 3 dapat terjadi dalam q3 cara demikian seterusnya hingga tahapan ke – n bisa berlangunsg dalam qncara maka kejadian tersebut bisa terjadi secara berurutan dalam q1 × q2 × q3 × … × qn dengan cara berbeda.

Sebagai contoh:

Berapa banyaknya cara atau metode untuk memilih 3 pengurus OSIS yang terdiri atas ketua, sekretaris serta bendahara dari total 8 orang siswa?

Penyelesaian:

Misal ada 3 tempat untuk mengisi posisi ketua, sekretaris dan bendahara yang kita visualkan seperti di bawah ini:


       Ketua                                      Sekretaris                                Bendahara

Dari ke-8 siswa itu, seluruh berhak dipilih untuk menjadi ketua sehingga terdapat 8 cara untuk mengisi posisi ketua.

Sebab 1 orang telah menjadi ketua maka tinggal 7 orang yang berhak untuk dipilih menjadi sekretaris sehingga terdapat 7 cara untuk mengisi posisi sekretaris.

Sebab 1 orang telah terpilih menjadi ketua serta 1 orang sudah menjadi sekretaris maka tinggal 6 orang yang berhak untuk dipilih menjadi bendahara sehingga terdapat 6 cara untuk mengisi bendahara.

Ilustrasi seperti tabel di bawah ini:

876

       Ketua                                      Sekretaris                                Bendahara

 

Banyak cara untuk memilih 3 pengurus OSIS tersebut yaitu 8 × 7 × 6 = 336

Aturan Penjumlahan

Sebagai contoh ada sebuah kejadian yang bisa terjadi dalam n cara yang berlainan (saling asing) di mana dalam cara pertama ada p1 kemungkinan hasil yang berbeda. Pada cara kedua ada p2 kemungkinan hasil yang berbeda. Pada cara ketiga ada p3kemungkinan hasil yang berbeda. Serta demikian selanjutnya hingga cara yang ke – n ada pn kemungkinan hasil yang berbeda. Sehingga total banyak kemungkinan kejadian dalam peristiwa tersebut yaitu p1 + p2 + p3 + … + pn dengan cara berbeda.

Sebagai contoh:

Putra seorang pelajar SMK N Girisubo. Putra memiliki tiga jenis alat transportasi yang ia kendarai dari rumah ke sekolah. Antara laing: sepeda (sepeda mini, sepeda gunung), sepeda motor (yamaha, honda, suzuki) serta mobil (sedan, kijang, pick-up).

Pertanyaannya, berapa banyak cara Putra untuk berangkat dari rumah ke sekolah?

Penyelesaian:

Alat transportasi yang dipakai oleh Putra dari rumah ke sekolah hanyalah salah satu saja yakni sepeda atau sepeda motor atau mobil. Tidak mungkin Putra mengendarai lebih dari satu kendaraan dalam waktu bersamaan.  Banyaknya cara Putra berangkat dari rumah ke sekolah merupakan banyak cara mengendarai sepeda + banyak cara mengenadari sepeda motor + banyak cara mengendarai mobil = 2 + 3 + 3 = 8 cara.

Notasi Faktorial

Contohnya n ∈ himpunan bilangan asli. Notasi n! (dibaca: n faktorial) diartikan sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan asli secara berurutan dari n sampai 1.

Maka kita tulis:

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1.

Diartikan sebagai 1! = 1 dan 0! = 1.

Sebagai contoh:

1. Tentukan nilai dari 5!.

Jawab:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

2. Tentukan nilai dari 2! + 3!.

Jawab:

2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 = 12

Permutasi

Materi pertama yang akan kita bahas pada artikel ini adalah permutasi. Permutasi mempelajari mengenai menyusun k objek dari n objek dengan cara memperhatikan urutan. Ada tiga contoh permutasi yang sering timbul antara lain: permutasi dari unsur-unsur yang berbeda, permutasi dengan beberapa unsur yang sama, serta permutasi siklis. Selengkapnya simak baik-baik ulasan berikut ini.

Macam dan Formula atau Rumus Permutasi

Berikut ini merupakan jenis – jenis permutasi:

Permutasi dari  elemen, tiap permutasi terdiri dari  elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil dari n unsur, maka banyaknya permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut adalah:

  

\[ P_n^n=n! \]

Sebagai contoh, seorang anak akan menata 5 gelas dengan warna berbeda di atas meja. Maka, banyaknya cara untuk menyusun gelas tersebut adalah:

P_5^5=5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120 cara

Permutasi dari n elemen, tiap elemen terdiri dari r unsur dari n elemen dengan \rleq n

Untuk semua bilangan positif n dan r (dengan \rleq n), banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah:

  

\[ P_r^n=\frac{n!}{(n-r)!} \]

Rumus ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan pemilihan suatu jabatan kepengurusan, maupun peringkat dalam kejuaraan (dimana urutan diperhatikan). Sebagai contoh, banyaknya cara untuk memilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara dari 7 siswa yang tersedia adalah:

Banyaknya siswa: n=7
Banyak pilihan objek (ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara): r=4
Maka, banyaknya cara yang bisa dipilih adalah:

  \[P_r^n=P_4^7=\frac{7!}{(7-4)!)}=\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!}=840\]

Permutasi dari n unsur yang mengandung p,q dan r unsur yang sama

  \[ P_{k_1,k_2,k_t}^{n} = \frac{n!}{k_1!k_2!…k_t!} \]

Keterangan:

n    = menunjukan banyaknya elemen seluruhnya

k1  = menunjukan banyaknya elemen kelompok 1 yang sama

k2  = menunjukan banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

…

kt   = menunjukan banyaknya elemen kelompok kt yang sama

t = 1,2,3,…

Sebagai contoh, banyaknya cara untuk menyusun kata dari kata MISSISPPI adalah:
n = banyaknya huruf 
k_1 =banyaknya huruf I 
k_2 = banyaknya huruf S 
k_3 =banyaknya huruf P 
Maka,

  \[ P_{k_1,k_2,k_t}^{n} = P_{3,3,2}^{n} = \frac{9!}{3!3!2!}=5040_{cara} \]

Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

  \[ P_{siklis}^{n} = (n-1)! \]

Sebagai contoh, 4 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Banyaknya cara susunan yang dapat dibuat adalah:
n= banyaknya anggota 
Maka,

  \[P_{siklis}^n=P_{siklis}^n=(4-1)!=3!=3\times2\times1=6 cara\]

Kombinasi

Kombinasi merupakan suatu pengelompokan dari sebagian atau seluruh elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya (AB=BA). Kombinasi dari beberapa unsur yang berbeda yaitu:

  \[C_r^n=\frac{n!}{(n-r)!r!}\]

Sebagai contoh, kombinasi 2 elemen dari 3 huruf A, B, C adalah dan AB, AC, dan BC. Sedangkan BA, CA, dan CB tidak termasuk ke dalam hitungan karena AB=BA,AC, dan BC=CB. Banyaknya kombinasi adalah:

  \[C_{r}^n = C_{2}^{3} = \frac{3!}{(3-2)!2!}=\frac{3!}{1!2!}=3\]

Contoh Soal

Soal 1

Raden memiliki 3 buah sepatu, 5 buah kaos kaki, dan 2 buah tali sepatu. Berapa banyak cara Raden dapat memakai sepatu, kaos kaki, dan tali sepatu?

Jawab:
Himpunan sepatu:

  \[s=(s_1,s_2,s_3)=3\]


Himpunan kaos kaki:

  \[k=(k_1,k_2,k_3,k_4,k_5)=5\]


Himpunan tali sepatu:

  \[t=(t_1,t_2)=2\]


Banyaknya cara:

  \[a_s\times a_k\times a_t=3\times 5\times 2 = 30_{cara}\]

Soal 2

Terdapat buah anggur, belimbing, manga, apel, jeruk, dan salak. Masing-masing buah akan disusun berjajar. Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari buah-buahan tersebut?

Jawab:
Banyaknya buah – buahan:n=6
Banyaknya susunan buah – buahan:

  \[P_n^n=P_6^6=6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720_{cara}\]

Soal 3

Dari 9 peserta Olimpiade Matematika Tingkat Kota, akan dipilih 3 juara, yaitu: juara 1, juara 2, dan juara 3. Ada berapa susunan berbeda yang dapat dibentuk?

Jawab:
Banyak peserta: n=9
Banyak pilihan objek (juara 1, juara 2, juara 3): r=3
Maka, banyaknya susunan berbeda yang dapat dibentuk :

  \[P_r^n=P_3^9=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9\times8\times7}{6!6!}= 504\]

Soal 4

Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari kata INDONESIA!

Jawab:
n= banyaknya huruf 
k_1=banyaknya huruf I 
k_2=banyaknya huruf N 
Maka, banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah:

  \[P_{k_1,k_2,k_3}^n=P_{2,2}^{9}=\frac{9!}{2!2!}=90720\]

Soal 5

Suatu kelompok arisan ibu-ibu memiliki 9 anggota. Apabila setiap arisan mereka duduk melingkar, ada berapa banyak posisi duduk ibu-ibu yang dapat dibentuk?

Jawaban:
n=banyaknya anggota 
Maka, banyaknya posisi duduk yang dapat dibentuk adalah:

  \[P_{siklis}^n=P_{siklis}^9=(9-1)!=8!=40.320\]


Latihan Soal

  1. Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang? 
  2. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan tidak boleh ada angka yang diulang.

a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk?

b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk?

c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk?

d. Berapa banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk? 

 






Post a Comment

Previous Post Next Post

Contact Form